Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 14 стр.

                        3 Тригонометрические ряды

     Во второй половине XVIII в. началось активное развитие математики,
близкой к современной, когда такие понятия, как функция, дифференциальное
уравнение, ряд стали приобретать тот смысл, который в них сейчас вкладываем
мы. К этому времени ученые уже отдавали себе отчет в том, что существуют
геометрическая и аналитическая модели всего, что происходит в природе и тех-
нике. При этом аналитическая модель продуктивнее, поскольку, как правило,
обобщает данные, которые можно получить средствами геометрии. Именно в
XVIII в., в 1715 г., исходя из соображений механики и геометрии, Брук Тейлор
вывел уравнение, описывающее малые колебания струны с закрепленными
концами.
     В современном виде оно выглядит так:
                                      ∂2 y          2
                                                2 ∂ y
                                            =a          .                (11)
                                      ∂t 2        ∂x 2
     Это дифференциальное уравнение с частными производными, с которого
начала свое развитие математическая физика.
     Рассматривается натянутая однородная струна, расположенная вдоль оси
ОХ, закрепленная на концах в точках х = 0 и х = l (l — длина струны). Если
отклонить струну от положения равновесия (или придать ее точкам некоторые
скорости), то струна начнет колебаться. Рассматривая только малые колебания
струны, длину ее можно считать неизменной. Будем считать колебания проис-
ходящими в одной плоскости XOY таким образом, что каждая точка струны
движется в направлении, перпендикулярном оси ОХ. Пусть y = y(x, t) — вели-
чина отклонения в момент t точки струны с абсциссой х. При каждом фиксиро-
ванном значении t = t0 график функции y = y(x, t0) дает форму струны.
     Сформулируем задачу геометрически: зная форму струны и скорость ее
точек в начальный момент времени t = 0, найти отклонение каждой точки стру-
ны в любой момент времени t.
     Соответствующая аналитическая формулировка: решить уравнение (11)
при граничных условиях
                               у = у(0, t) = y(l, t) = 0
и при начальных условиях
                                           ∂y( x , 0 )
                          y(x, 0) = f(x);              = g( x ) ,
                                              ∂t
где f(x) и g(x) — заданные непрерывные функции, обращающиеся в нуль при x
= 0 и x = l.