Математика. Абубакиров Н.Р - 126 стр.

x(t ) представляет зависимость абсциссы x точки от времени, функция y(t ) –
зависимость ординаты y от времени. А задание системы дифференциальных
уравнений

     
      x  a  x(t )  b  y(t ),
     
      y  c  x(t )  d  y(t ),
       


    означает задание зависимости вектора скорости от вектора перемещений.

    Очевидно, что нулевой вектор ( x0 (t ), y0 (t ))  (0,0) является решением
однородной линейной системы и называется нулевым. Спрашивается, будет ли
решение ( x(t ), y(t )) , находящееся в какой-то момент вблизи точки (0,0) , а) так
же оставаться вблизи нулевой точки или же б) стремиться к нулевой точке, а
может быть, в) стремиться от нулевой точки с ростом значений времени t .

    В случае а) нулевое решение называют устойчивым, в случае б) нулевое
решение называют не просто устойчивым, но и асимптотически
устойчивым, в случае в) нулевое решение является неустойчивым.

    Исследование устойчивости необходимо при применении математического
аппарата для решения различных задач биологии.

   Вывод об устойчивости нулевого решения однородной линейной системы
можно сделать, проанализировав корни соответствующего характеристического
              ak  b
уравнения             0.
               c d k

      1.       Если характеристическое уравнение имеет только вещественные
корни (или один кратный корень), нулевое решение будет асимптотически
устойчивым только в случае, когда оба корня отрицательны. В случае, когда
один корень отрицателен, а другой нулевой, будет простая устойчивость.
      2.       Если характеристическое уравнение имеет два комплексных корня
  i , то нулевое решение будет асимптотически устойчивым, если   0 ,
будет устойчивым, если   0 , и будет неустойчивым, если   0 .
      Исследовать устойчивость можно графически с применением программы
Maxima. Для этого мы построим поле направлений движения траекторий
x(t ) и y(t ), t [t0 , ] в плоскости Oxy (так называемой, фазовой плоскости).

    Пример. Исследовать устойчивость нулевого решения системы



                                        126