Математическое моделирование в социологии. Абзалилов Д.Ф. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Входящее в это равенство число λ называется собственным зна-
чением матрицы A. Упроще н но говоря, собственный вектор – любой
ненулевой вектор v, который после преобразования умножением на
матрицу A отображается в коллинеарный вектор λv, а соответствую-
щее число λ называется собственным значением.
4.2. Нахождение собственных значений. Запишем (4.1) в
другом виде:
(A − λE)v = 0. (4.2)
У этого уравнения есть ненулевое решение в случае, если
det(A − λE) = 0. (4.3)
Это уравнение на зывается характерис тичес ким и служит для нахожде-
ния собственных значений матрицы A. Левая часть этого уравнения
представляет собой многочлен степени n относительно λ и имеет n
решений (в общем случае возможны и комплексные корни).
Рассмотрим пример. Найдем собственные числа матрицы
A =
2 1
1 2
!
. (4.4)
Запишем характерис тическое уравнение
2 − λ 1
1 2 − λ
= (2 − λ)
2
− 1 = λ
2
− 2λ + 3 = 0.
Это квадратное уравнение имеет корни λ
1
= 3, λ
2
= 1, которые и
будут двумя собственными значениями матрицы A.
4.3. Нахождение собственных векторов. Собственные век-
торы находятся из уравнения (4.2). Заметим, что решение будет не
22
    Входящее в это равенство число λ называется собственным зна-
чением матрицы A. Упрощенно говоря, собственный вектор – любой
ненулевой вектор v, который после преобразования умножением на
матрицу A отображается в коллинеарный вектор λv, а соответствую-
щее число λ называется собственным значением.
    4.2. Нахождение собственных значений. Запишем (4.1) в
другом виде:

     (A − λE)v = 0.                                           (4.2)

    У этого уравнения есть ненулевое решение в случае, если

     det(A − λE) = 0.                                         (4.3)

Это уравнение называется характеристическим и служит для нахожде-
ния собственных значений матрицы A. Левая часть этого уравнения
представляет собой многочлен степени n относительно λ и имеет n
решений (в общем случае возможны и комплексные корни).
    Рассмотрим пример. Найдем собственные числа матрицы
              !
           2 1
     A=         .                                             (4.4)
           1 2

    Запишем характеристическое уравнение

      2−λ       1
                     = (2 − λ)2 − 1 = λ2 − 2λ + 3 = 0.
        1      2−λ

    Это квадратное уравнение имеет корни λ1 = 3, λ2 = 1, которые и
будут двумя собственными значениями матрицы A.
    4.3. Нахождение собственных векторов. Собственные век-
торы находятся из уравнения (4.2). Заметим, что решение будет не


                                 22

Страницы