Математическое моделирование в социологии. Абзалилов Д.Ф. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

единственно, собственные векторы находятся с точностью до множите-
ля. Обычно в качестве собственного вектора понимается вектор единич-
ной длины. Найдем собственные векторы матрицы (4.4). Для λ
1
= 3
имеем систему
2 − 3 1
1 2 − 3
!
v
11
v
21
!
= 0 ⇒ v
11
= v
21
⇒ v
1
=
1
√
2
1
√
2
.
Для λ
2
= 1 получим
2 − 1 1
1 2 − 1
!
v
12
v
22
!
= 0 ⇒ v
12
= −v
22
⇒ v
2
=
1
√
2
−
1
√
2
.
4.4. Приведение симметричной матрицы к диагональ-
ному виду. В случае, когда матрица A является симметричной, все
собственные числа будут вещес тв енными. Также, в случае симметрич-
ной матрицы любые два собственных в ектора v
1
и v
2
, отвечающих
различным собственным значения м λ
1
и λ
2
будут ортогональны. Если
у симметричной матрицы все собственные числа λ
1
, . . . λ
n
различны,
для нее мы имеем n собственных попарно ортогональных единичных
векторов v
1
, . . . v
n
. Со ставим матрицу V , столбцы которой являются
собственными векторами v
1
, . . . v
n
. Из условия попарн ой ортогональ-
ности единичных векторов следует
V
T
V = E ⇒ V
T
= V
−1
,
следовательно матрица V будет ортогональной.
Из (4.1) следует, что матрицу A можно представить в виде
A = V ΛV
T
, (4.5)
где Λ – диагональная матрица, составленная из собственны х значений
23
единственно, собственные векторы находятся с точностью до множите-
ля. Обычно в качестве собственного вектора понимается вектор единич-
ной длины. Найдем собственные векторы матрицы (4.4). Для λ1 = 3
имеем систему
                      !            !                                             
        2−3       1          v11                                              √1
                                       =0    ⇒       v11 = v21   ⇒    v1 =    2 .
         1       2−3         v21                                              √1
                                                                                2

    Для λ2 = 1 получим
                 !           !                                                   
  2−1        1         v12                                                    √1
                                 =0      ⇒        v12 = −v22     ⇒   v2 =    2 .
    1    2−1           v22                                                   − √12

    4.4. Приведение симметричной матрицы к диагональ-
ному виду. В случае, когда матрица A является симметричной, все
собственные числа будут вещественными. Также, в случае симметрич-
ной матрицы любые два собственных вектора v1 и v2 , отвечающих
различным собственным значениям λ1 и λ2 будут ортогональны. Если
у симметричной матрицы все собственные числа λ1 , . . . λn различны,
для нее мы имеем n собственных попарно ортогональных единичных
векторов v1, . . . vn. Составим матрицу V , столбцы которой являются
собственными векторами v1 , . . . vn. Из условия попарной ортогональ-
ности единичных векторов следует

     V TV = E             ⇒            V T = V −1,

следовательно матрица V будет ортогональной.
    Из (4.1) следует, что матрицу A можно представить в виде

     A = V ΛV T ,                                                                (4.5)

где Λ – диагональная матрица, составленная из собственных значений

                                             23

Страницы