Математическое моделирование в социологии. Абзалилов Д.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Поэтому решением уравнения (4.7), то есть искомой матрицей
“объект–признак” может быть матрица
X = V S, (4.9)
где S имеет вид (4.8), а каждый столбец матрицы
V =
v
11
v
12
··· v
1n
v
21
v
22
··· v
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
v
n1
v
n2
··· v
nn
является соб ственным вектором матрицы ∆
∗
.
Заметим, что решение этой задачи не единственно. Любая матри-
ца матрица
e
X, полученная из X в результате ортогонального преобра-
зования, например пово р о та
e
X = XT = V ST также будет решением
уравнения (4.7 ). Дейс тв ите льн о
e
X
e
X
T
= (V ST )(V ST )
T
= V S(T T
T
)S
T
V
T
= V SS
T
V
T
= ∆
∗
§ 5. Метричес кий метод Торгерсона
5.1. Нахождение матрицы ∆
∗
по матрице ∆ (осно в ная
теорема Торгерсона). Напомним, что элементы матрицы ∆ раз-
личия связаны с элементами матрицы X “объект–признак” форму-
лой (2.1). Элементы матрицы ∆
∗
также находятся по матрице “объ-
ект–признак” (формула (2.2)). Рассмотрим случай, ко гда матрица X
неизвестна и тр ебуется найти связь между матрицами ∆ и ∆
∗
.
Теорема Торгерсона: Элементы матрицы ∆
∗
связаны с эле-
ментами матрицы ∆ формулой
δ
∗
ij
= −
1
2
(δ
2
ij
− δ
2
i·
− δ
2
·j
+ δ
2
··
), (5.1)
25
    Поэтому решением уравнения (4.7), то есть искомой матрицей
“объект–признак” может быть матрица

       X = V S,                                                    (4.9)

    где S имеет      вид (4.8), а каждый столбец матрицы
                                  
            v        v12 · · · v1n
           11                     
          v         v22 · · · v2n 
           21                     
     V = .           .. . . . .. 
           ..         .         . 
                                  
            vn1      vn2 · · · vnn

является собственным вектором матрицы ∆∗.
    Заметим, что решение этой задачи не единственно. Любая матри-
           e полученная из X в результате ортогонального преобра-
ца матрица X,
                           e = XT = V ST также будет решением
зования, например поворота X
уравнения (4.7). Действительно

       eX
       X e T = (V ST )(V ST )T = V S(T T T )S T V T = V SS T V T = ∆∗


§ 5.     Метрический метод Торгерсона

    5.1. Нахождение матрицы ∆∗ по матрице ∆ (основная
теорема Торгерсона). Напомним, что элементы матрицы ∆ раз-
личия связаны с элементами матрицы X “объект–признак” форму-
лой (2.1). Элементы матрицы ∆∗ также находятся по матрице “объ-
ект–признак” (формула (2.2)). Рассмотрим случай, когда матрица X
неизвестна и требуется найти связь между матрицами ∆ и ∆∗.
    Теорема Торгерсона: Элементы матрицы ∆∗ связаны с эле-
ментами матрицы ∆ формулой
               1
       δij∗ = − (δij2 − δi·2 − δ·j2 + δ··2 ),                      (5.1)
               2
                                           25

Страницы