Математическое моделирование в социологии. Абзалилов Д.Ф. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где
δ
2
i·
=
1
m
m
X
j=1
δ
2
ij
, δ
2
·j
=
1
m
m
X
i=1
δ
2
ij
, δ
2
··
=
1
m
m
X
j=1
δ
2
·j
=
1
m
m
X
i=1
δ
2
i·
.
5.2. Доказательство основной теоремы. Для удобства до-
казательства рассмотрим случай, когда данные матрицы X являются
шкалированными, то есть
m
X
i=1
x
ik
=
m
X
j=1
x
jk
= 0 для всех k (5.2)
Использовав формулу (2.1), найдем
δ
2
ij
=
n
X
k=1
(x
ik
− x
jk
)
2
=
n
X
k=1
x
2
ik
+
n
X
k=1
x
2
jk
− 2
n
X
k=1
x
ik
x
jk
(5.3)
Просуммировав по индексу j, получим
δ
2
i·
=
1
m
m
X
j=1
δ
2
ij
=
1
m
m
X
j=1
n
X
k=1
x
2
ik
+
1
m
m
X
j=1
n
X
k=1
x
2
jk
−
2
m
m
X
j=1
n
X
k=1
x
ik
x
jk
=
=
n
X
k=1
x
2
ik
+
n
X
k=1
1
m
m
X
j=1
x
2
jk
!
−
2
m
n
X
k=1
x
ik
m
X
j=1
x
jk
!
.
Последняя скобка р авна нулю вследствие (5.2), поэтому
δ
2
i·
=
n
X
k=1
x
2
ik
+
n
X
k=1
x
2
·k
, x
2
·k
=
1
m
m
X
j=1
x
2
jk
. (5.4)
Аналогично получим
δ
2
·j
=
n
X
k=1
x
2
jk
+
n
X
k=1
x
2
·k
. (5.5)
Просуммировав (5.4) по индексу i, получим
δ
2
··
=
n
X
k=1
1
m
m
X
i=1
x
2
ik
!
+
n
X
k=1
x
2
·k
1
m
m
X
i=1
1
!
= 2
n
X
k=1
x
2
·k
. (5.6)
26
где
                            m                                  m                              m                   m
                  1 X 2                               1 X 2                            1 X 2       1 X 2
         δi·2   =      δ ,                 δ·j2     =      δ ,                δ··2   =       δ·j =      δ .
                  m j=1 ij                            m i=1 ij                         m j=1       m i=1 i·

      5.2. Доказательство основной теоремы. Для удобства до-
казательства рассмотрим случай, когда данные матрицы X являются
шкалированными, то есть
         m
         X                   m
                             X
                 xik =              xjk = 0               для всех k                                                  (5.2)
         i=1                 j=1

      Использовав формулу (2.1), найдем
                    n
                    X                                    n
                                                         X                n
                                                                          X                   n
                                                                                              X
         δij2   =           (xik − xjk ) =      2
                                                               x2ik   +          x2jk    −2         xik xjk           (5.3)
                      k=1                                k=1              k=1                 k=1

      Просуммировав по индексу j, получим
                      m                    m         n                    m          n               m        n
           1 X 2       1 XX 2      1 XX 2      2 XX
  δi·2   =       δij =       xik +       xjk −       xik xjk =
           m j=1       m j=1       m j=1       m j=1
                                                    k=1                         k=1                       k=1

                n                  n                m
                                                               !               n          m
                                                                                                          !
                X                  X       1 X 2                        2 X               X
         =            x2ik +                    x                     −     xik                     xjk       .
                                           m j=1 jk                     m                     j=1
                k=1                k=1                                        k=1

Последняя скобка равна нулю вследствие (5.2), поэтому
                    n
                    X                  n
                                       X                                        m
                                                                        1 X 2
         δi·2   =           x2ik   +           x2·k ,          x2·k   =      x .                                      (5.4)
                                                                        m j=1 jk
                    k=1                k=1

      Аналогично получим
                    n
                    X                  n
                                       X
         δ·j2   =           x2jk   +           x2·k .                                                                 (5.5)
                    k=1                  k=1

      Просуммировав (5.4) по индексу i, получим
             n     m
                          !    n           m
                                               !   n
             X  1 X           X         1 X        X
        2               2          2
       δ·· =           xik +      x·k         1 =2   x2·k .                                                           (5.6)
                m i=1                   m i=1
                    k=1                                   k=1                                       k=1

                                                                26

Страницы