Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

неопределенностей невозможно сразу сказать о том, существуют или нет иско-
мые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.
6.1. Раскрытие неопределенностей типа
0
0
. Для раскрытия та-
кой неопределенности обычно используется метод разложения на множители
числителя и знамена теля с последующим сокращением одина ковых множите-
лей.
Пример 1. Найти lim
x→1
x
2
− 3x + 2
x
2
− 1
. Имеем неопределенность типа
0
0
.
Разложим на множители числитель и знаменатель:
lim
x→1
x
2
− 3x + 2
x
2
− 1
=
0
0
= lim
x→1
(x − 1)(x − 2)
(x − 1)(x + 1)
=
= lim
x→1
x − 2
x + 1
=
1 − 2
1 + 1
= −
1
2
.
Пример 2. Найти lim
x→0
x
√
1 + 3x − 1
. Для разложения знаменате ля на мно-
жители используем прием умножения обеих частей на сопряженное к зна мена-
телю выражение:
lim
x→0
x
√
1 + 3x − 1
=
0
0
= lim
x→0
x(
√
1 + 3x + 1)
(
√
1 + 3x − 1)(
√
1 + 3x + 1)
=
= lim
x→0
x(
√
1 + 3x + 1)
(1 + 3x − 1)
= lim
x→0
√
1 + 3x + 1
3
=
√
1 + 0 + 1
3
=
2
3
6.2. Раскрытие неопределенностей типа
n
∞
∞
o
. Для раскры тия
неопределенности этого типа обычно используется метод деления числителя и
знаменателя на наивысшую степень переменной.
Пример 3. Найти lim
x→∞
x − 3x
2
x
2
+ 1
. Имеем неопределенность типа
n
∞
∞
o
. Наи-
высшая степен ь числителя и знаменателя равна двум. Делим числитель и зна-
менатель на x
2
:
lim
x→∞
x − 3 x
2
x
2
+ 1
=
n
∞
∞
o
= lim
x→∞
1
x
− 3
1 +
1
x
2
=
0 − 3
1 + 0
= −3.
Здесь мы учли, что
1
∞
= 0:
21
неопределенностей невозможно сразу сказать о том, существуют или нет иско-
мые пределы, не говоря уже о нахождении их значений,
                                                   если
                                                       они существуют.
                                                    0
    6.1. Раскрытие неопределенностей типа              . Для раскрытия та-
                                                    0
кой неопределенности обычно используется метод разложения на множители
числителя и знаменателя с последующим сокращением одинаковых множите-
лей.                                                                    
                           x2 − 3x + 2                                  0
    Пример 1. Найти lim                . Имеем неопределенность типа       .
                       x→1    x2 − 1                                    0
Разложим на множители числитель и знаменатель:
                       
        x2 − 3x + 2    0          (x − 1)(x − 2)
    lim             =      =  lim                =
    x→1    x2 − 1      0      x→1 (x − 1)(x + 1)

             x−2 1−2       1
       = lim       =     =− .
         x→1 x + 1   1+1   2
                             x
       Пример 2. Найти lim √         . Для разложения знаменателя на мно-
                     x→0  1 + 3x − 1
жители используем прием умножения обеих частей на сопряженное к знамена-
телю выражение:
                                         √
             x           0               x( 1 + 3x + 1)
    lim √            =      = lim √              √            =
    x→0   1 + 3x − 1     0     x→0 ( 1 + 3x − 1)( 1 + 3x + 1)

             √                  √              √
          x( 1 + 3x + 1)          1 + 3x + 1     1+0+1 2
    = lim                 = lim              =            =
       x→0 (1 + 3x − 1)     x→0      3             3        3
                                                    n∞o
    6.2. Раскрытие неопределенностей типа                 . Для раскрытия
                                                      ∞
неопределенности этого типа обычно используется метод деления числителя и
знаменателя на наивысшую степень переменной.
                          x − 3x2                               n∞o
    Пример 3. Найти lim 2         . Имеем неопределенность типа    . Наи-
                     x→∞ x + 1                                   ∞
высшая степень числителя и знаменателя равна двум. Делим числитель и зна-
менатель на x2:
        x − 3x2 n ∞ o        1
                            x −3     0−3
     lim 2      =     = lim        =     = −3.
    x→∞ x + 1      ∞    x→∞ 1 + 12   1+0
                                x
                  1
Здесь мы учли, что ∞ = 0:



                                    21

Страницы