Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Если для геометричес кой интерпретации вещественных чисел использова-
лась числовая прямая, то для интерпретации комплексных чисел используется
плоскость, где по оси абсцисс откладывается действительн ая часть, а по оси
ординат – мнимая.
0
5
3
−3
x
y
z = 5 + 3i
z = 5 − 3i
Комплексно сопряженным числом к z = x+iy называется число z = x−iy.
Например, для числа z = 5 + 3i комплексно сопряженным будет z = 5 − 3i.
С комплексными числами тес но связана основн ая теорема алгебры, которая
гласит, что а лгебраическое уравнен ие порядка n
z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ . . . + a
1
z + a
0
= 0
с комплексными коэффициентами a
k
имеет ров н о n комплексных корней: z
1
, z
2
,
. . . , z
n
. Если все коэффициенты a
k
веществе н ные, корни уравнения будут либо
чисто вещественн ые числа, либо пары комплексно сопряжен н ых корней.
Пример 1. Решить квадратное уравнение x
2
+ 4x + 40 = 0. Вычисляем
дискриминант D = 4
2
−4 ·40 = −144. Так как D < 0 уравнение не имеет веще-
ственных корней, но из основной теоремы алгебры следует, что у квадр атного
уравнения есть два корня. Учитыва я, что
√
D =
√
−144 =
√
144 ·
√
−1 = 12i,
найдем
x
1,2
=
−4 ±
√
D
2
=
−4 ± 12i
2
= −2 ± 6i.
23
    Если для геометрической интерпретации вещественных чисел использова-
лась числовая прямая, то для интерпретации комплексных чисел используется
плоскость, где по оси абсцисс откладывается действительная часть, а по оси
ординат – мнимая.

                                   y

                                               z = 5 + 3i
                               3




                               0                   5        x


                            −3
                                               z = 5 − 3i


    Комплексно сопряженным числом к z = x+iy называется число z = x−iy.
Например, для числа z = 5 + 3i комплексно сопряженным будет z = 5 − 3i.
    С комплексными числами тесно связана основная теорема алгебры, которая
гласит, что алгебраическое уравнение порядка n

    z n + an−1z n−1 + . . . + a1 z + a0 = 0

с комплексными коэффициентами ak имеет ровно n комплексных корней: z1 , z2 ,
. . . , zn . Если все коэффициенты ak вещественные, корни уравнения будут либо
чисто вещественные числа, либо пары комплексно сопряженных корней.
    Пример 1. Решить квадратное уравнение x2 + 4x + 40 = 0. Вычисляем
дискриминант D = 42 − 4 · 40 = −144. Так как D < 0 уравнение не имеет веще-
ственных корней, но из основной теоремы алгебры следует, что у квадратного
                                       √      √         √      √
уравнения есть два корня. Учитывая, что D = −144 = 144 · −1 = 12i,
найдем
                  √
             −4 ± D   −4 ± 12i
    x1,2   =        =          = −2 ± 6i.
                2        2
                                          23

Страницы