Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5. (e
x
)
′
= e
x
6. (a
x
)
′
= a
x
ln a
7. (sin x)
′
= cos x 8. (cos x)
′
= −sin x
9. (tg x)
′
=
1
cos
2
x
10. (ctg x)
′
= −
1
sin
2
x
11. (arcsin x)
′
=
1
√
1 − x
2
12. (arccos x)
′
= −
1
√
1 − x
2
13. (a rctg x)
′
=
1
x
2
+ 1
14. (arcctg x)
′
= −
1
x
2
+ 1
8.2. Правила вычисления производных. Для вычисления производ-
ных (или, другими словами, дифференциров ания) применяются следующие пра-
вила:
1. (Cu)
′
= Cu
′
– вы несение постоянного множителя.
2. (u + v)
′
= u
′
+ v
′
– дифферен ц иро вание суммы.
3. (uv)
′
= u
′
v + uv
′
– дифференцирован ия произведения.
4.
u
v
′
=
u
′
v − uv
′
v
2
– дифферен ц иро вание дроби.
5. Если y = f(u), а u = g( x)), то y( x) = f[g(x)] – сложная функция
(функция от функции). Ее производная y
′
= f
′
(u) · g
′
(x).
Пример 1. Найти производную функции y = 2x
3
− 3 sin x +
1
3
√
x
2
.
Используем первое и второе правила дифференцирования:
y
′
=
2x
3
′
+ (−3 sin x)
′
+
1
3
√
x
2
′
= 2(x
3
)
′
− 3(sin x)
′
+
x
−
2
3
′
=
= 6x
2
− 3 cos x −
2
3
x
(
−
2
3
−1
)
= 6x
2
− 3 cos x −
2
3
x
−
5
3
= 6x
2
− 3 cos x −
2
3
1
3
√
x
5
.
Пример 2. Найти производную функции y =
cos x
x
2
.
Используем правило дифференцирования дроби:
y
′
=
cos x
x
2
′
=
(cos x)
′
x
2
− cos x(x
2
)
′
(x
2
)
2
=
=
(−sin x)x
2
− (cos x)2x
x
4
= −
x sin x + 2 cos x
x
3
.
25
        5. (ex )′ = ex                        6. (ax )′ = ax ln a

        7. (sin x)′ = cos x                   8. (cos x)′ = − sin x

                         1                                         1
        9. (tg x)′ =                          10. (ctg x)′ = −
                       cos2 x                                    sin2 x
                               1                                       1
        11. (arcsin x)′ = √                   12.   (arccos x)′ = − √
                             1 − x2                                  1 − x2
                              1                                       1
        13.    (arctg x)′ = 2                 14.   (arcctg x)′ = − 2
                           x +1                                    x +1

    8.2. Правила вычисления производных. Для вычисления производ-
ных (или, другими словами, дифференцирования) применяются следующие пра-
вила:
    1. (Cu)′ = Cu′           – вынесение постоянного множителя.
    2. (u + v)′ = u′ + v ′       – дифференцирование суммы.
    3. (uv)′ = u′v + uv ′  – дифференцирования произведения.
        u ′ u′ v − uv ′
    4.       =              – дифференцирование дроби.
         v         v2
    5. Если y = f (u), а u = g(x)), то y(x) = f [g(x)] – сложная функция
(функция от функции). Ее производная y ′ = f ′ (u) · g ′ (x).
                                                                           1
    Пример 1. Найти производную функции y = 2x3 − 3 sin x +               3 2.
                                                                          √
                                                                            x
    Используем первое и второе правила дифференцирования:
                                     ′                      2 ′
     ′     3
              ′          ′       1
    y = 2x + (−3 sin x) + √     3
                                         = 2(x ) − 3(sin x) + x− 3 =
                                              3 ′          ′
                                  x 2

                   2                          2 5                   2 1
= 6x2 − 3 cos x − x(− 3 −1) = 6x2 − 3 cos x − x− 3 = 6x2 − 3 cos x − √
                      2
                                                                           .
                   3                          3                     3 3 x5
                                                   cos x
    Пример 2. Найти производную функции y = 2 .
                                                    x
    Используем правило дифференцирования дроби:
          cos x ′ (cos x)′x2 − cos x(x2)′
     ′
    y =            =                        =
            x2               (x2)2
      (− sin x)x2 − (cos x)2x     x sin x + 2 cos x
    =                         = −                   .
                x4                        x3
                                         25

Страницы