Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18. y =ln(e
2x
+
p
e
4x
+ 1). 19. y =ar ccos
√
1 − 2x +
p
2x − 4x
2
.
Ответы: 1. −
x
2
+2x+3
x
4
. 2.
2
3
√
x
2
−
1
4
√
x
3
. 3. x(2 cos x − x si n x). 4. (2 cos x −
−x sin x)/x
3
. 5. 2
x
(2x+x
2
ln x). 6. −20(1−5x)
3
. 7. −
x
√
1−x
2
. 8. −2 tg 4x
√
cos 4x.
9. −
1
√
x−4x
2
. 10.
1
2
√
x
2
+1
. 11.
2
1−4x
2
. 12. arctg
x
a
. 13.
4e
2x
1−e
8x
. 14. arccos x. 15.
x(2−3x
2
)
√
1−x
2
. 16. −
2(3x+1)
x
3
√
4x+1
. 17.
e
√
x
2
1 +
1
√
x
. 18.
2e
2x
√
e
4x
+1
. 19.
q
2
x
− 4.
§ 9. Исследование функций.
9.1. Исследование возрастания и убывания функции. Функция
y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на отрезке [a, b], если для
любых x
1
и x
2
> x
1
на этом отрезке f (x
1
) < f(x
2
) (f (x
1
) > f(x
2
)). Ин тервалы
возрастания и убывания функции называются интервалами монотон ности.
Достаточное условие возрастания(убывания) функции. Если
функция дифференцируема на этом отрезке и f
′
(x) > 0, то функция возра с-
тает. Если f
′
(x) < 0, то функция убывает.
9.2. Нахождение точек экстремума функции. Точка x = x
0
на-
зывается точкой максимума (минимума) для функции y = f(x), если f(x
0
)
является наибольшим (наименьшим) значением функции в некоторой окрестно-
сти этой точки. Точки максимума и минимума назы ваются точками экстремума,
а значения функции в этих точках – ее экстремумами.
Необходимым условием экстремума является равенство нулю или
отсутствие первой производной функции в точке x
0
, т.е. f
′
(x
0
) = 0 или не
существует. Эти точки на зываются критическими.
Первым достаточным условием экстремума в точке x
0
является
смена знака у первой п роизводной функции при пер еходе x через точку x
0
.
Если f
′
(x) при п ереходе через точку x
0
меняет зн ак плюс на минус, то в точке
x
0
функция имеет максимум, в противном случае – минимум. Если при переходе
через критическую точку п роизводная не меняет знак, то экстремума не т.
Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) име-
ет втор ую производную в к р итической точке x
0
. Если f
′′
(x
0
) > 0 (< 0), то точка
27
                    p                      √        p
                       2x
      18. y = ln(e + e + 1). 19. y = arccos 1 − 2x + 2x − 4x2.
                      4x

                             2
      Ответы: 1. − x             +2x+3
                                  x4
                                       .   2.    2         1
                                                          4 3.
                                          3. x(2 cos x − x sin x). 4. (2 cos x −
                                                √
                                                3 2
                                                 x
                                                      −   √
                                                           x
                                                       x
                                                                         √
−x sin x)/x3. 5. 2x (2x+x ln x). 6. −20(1−5x)3. 7. − √1−x
                                     2
                                                         2 . 8. −2 tg 4x  cos 4x.
       1                    √1             2                                      4e2x
9. − √x−4x2 . 10.          2 x2 +1
                                   . 11. 1−4x2 . 12.           arctg xa . 13.    1−eq8x .   14. arccos x. 15.
                                       √          
x(2−3x2 )              2(3x+1)        e x        1                       2x
 √        .   16.   − x3 4x+1 . 17. 2 1 + x .
                         √                      √              18.   √2e    .   19.     2
                                                                                            − 4.
   1−x2                                                                4x
                                                                      e +1              x



§ 9.          Исследование функций.

      9.1. Исследование возрастания и убывания функции. Функция
y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на отрезке [a, b], если для
любых x1 и x2 > x1 на этом отрезке f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)). Интервалы
возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности.
      Достаточное условие возрастания(убывания) функции. Если
функция дифференцируема на этом отрезке и f ′ (x) > 0, то функция возрас-
тает. Если f ′ (x) < 0, то функция убывает.
      9.2. Нахождение точек экстремума функции. Точка x = x0 на-
зывается точкой максимума (минимума) для функции y = f (x), если f (x0)
является наибольшим (наименьшим) значением функции в некоторой окрестно-
сти этой точки. Точки максимума и минимума называются точками экстремума,
а значения функции в этих точках – ее экстремумами.
      Необходимым условием экстремума является равенство нулю или
отсутствие первой производной функции в точке x0, т.е. f ′(x0) = 0 или не
существует. Эти точки называются критическими.
      Первым достаточным условием экстремума в точке x0 является
смена знака у первой производной функции при переходе x через точку x0 .
Если f ′(x) при переходе через точку x0 меняет знак плюс на минус, то в точке
x0 функция имеет максимум, в противном случае – минимум. Если при переходе
через критическую точку производная не меняет знак, то экстремума нет.
      Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция f (x) име-
ет вторую производную в критической точке x0. Если f ′′(x0) > 0 (< 0), то точка

                                                          27

Страницы