Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6. f
′′
(x) = 0 ⇒ точки перегиба, интервалы выпуклости.
Пример 1. Исследовать функцию y =
4x
x
2
+ 1
и построить её график.
1. Область существования функции – вся числовая ось, то есть (−∞, ∞).
Следовательно, у этой кривой нет особых точек и вертикальных асимптот.
2. Найдем предел функции при x → ∞:
lim
x→∞
4x
x
2
+ 1
= lim
x→∞
4
x
1 +
1
x
2
=
0
1 + 0
= 0
Следовательно, y = 0 – горизонтальная асимптота.
3. f(−x) =
4(−x)
(−x)
2
+1
= −
4x
x
2
+1
= −f(x). Значит, функция является нечетной
и ее график с имметричен относительно начала координат.
4. f (x) =
4x
x
2
+1
= 0 ⇒ x = 0 – нуль функции. Функц ия отрицательна пр и
x ∈ (−∞, 0) и по ложительна при x ∈ (0 , ∞).
5. f
′
(x) = −
4(x
2
−1)
(x
2
+1)
2
= 0 ⇒ x
2
− 1 = 0 ⇒ x = ±1. У функции две критиче-
ские точки. При x ∈ (−∞, −1) ∪ (1 , ∞) производная f
′
(x) < 0, следовательно,
на этих интервалах функция убывает. При x ∈ (−1, 1) f
′
(x) > 0 функция воз-
растает. Точка x = −1 – это точка минимума функции, точка x = 1 – точка
макс имума.
6. f
′′
(x) =
8x(x
2
−3)
(x
2
+1)
3
= 0 ⇒ x = 0илиx = ±
√
3. При x ∈ (infty, −sqrt3) ∪
(0,
√
3) вторая производная f
′′
(x) < 0, н а этих интервалах функция выпукла
вверх. На интервалах x ∈ (−sqrt3, 0) ∪ (
√
3, ∞) f
′′
(x) > 0 и функция выпукла
вниз.
Строим гр афик функции, учитывая точки максимума и минимума, три точ-
ки перегиба и го р изонтальную асимптоту:
0
x
y
1
−1
2
2
√
3
√
3
−
√
3
−
√
3
29
  6. f ′′(x) = 0     точки перегиба, интервалы выпуклости.
                     ⇒
                                            4x
    Пример 1. Исследовать функцию y = 2          и построить её график.
                                          x +1
    1. Область существования функции – вся числовая ось, то есть (−∞, ∞).
Следовательно, у этой кривой нет особых точек и вертикальных асимптот.
    2. Найдем предел функции при x → ∞:
                       4
          4x          x       0
     lim 2    = lim        =     =0
    x→∞ x + 1   x→∞ 1 + 12   1+0
                         x
Следовательно, y = 0 – горизонтальная асимптота.
                     4(−x)
    3. f (−x) =     (−x)2 +1   = − x24x+1 = −f (x). Значит, функция является нечетной
и ее график симметричен относительно начала координат.
                    4x
    4. f (x) =     x2 +1   = 0 ⇒ x = 0 – нуль функции. Функция отрицательна при
x ∈ (−∞, 0) и положительна при x ∈ (0, ∞).
                           2
    5. f ′(x) = − 4(x  −1)        2
                  (x2 +1)2 = 0 ⇒ x − 1 = 0 ⇒ x = ±1. У функции две критиче-
ские точки. При x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) производная f ′(x) < 0, следовательно,
на этих интервалах функция убывает. При x ∈ (−1, 1) f ′ (x) > 0 функция воз-
растает. Точка x = −1 – это точка минимума функции, точка x = 1 – точка
максимума.
                      2                         √
    6. f ′′(x) = 8x(x
                    2
                  (x +1)
                        −3)
                         3  = 0 ⇒ x = 0илиx = ±   3. При x ∈ (inf ty, −sqrt3) ∪
   √
(0, 3) вторая производная f ′′ (x) < 0, на этих интервалах функция выпукла
                                          √
вверх. На интервалах x ∈ (−sqrt3, 0) ∪ ( 3, ∞) f ′′ (x) > 0 и функция выпукла
вниз.
    Строим график функции, учитывая точки максимума и минимума, три точ-
ки перегиба и горизонтальную асимптоту:
                                                y
                                          √2
                                            3
                                 √
                                − 3 −1
                                                          √
                                                0     1    3               x

                                                 √
                                                − 3
                                                 2

                                             29

Страницы