Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
0
является точкой минимума (максимума).
9.3. Исследование выпуклости функции. Функция y = f(x) назы-
вается выпуклой вверх (вниз) на интервале (a, b), если касательные к графику
функции на этом интервале расположены выше (ниже) графика функции.
Достаточное условие выпуклости функции. Если функция дважды
дифференцируема на этом отрезке и f
′′
(x) > 0, то функция я вляется выпуклой
вниз. Если f
′′
(x) < 0, то функция является выпуклой вверх.
Точки, в которых выпуклость переходит в вогнутость, или наоборот, назы-
ваются точками перегиба функции. При переходе че р ез эти точки вторая произ-
водная f
′′
(x) меняет знак .
9.4. Асимптоты к графику функции. Прямая назы вается асимпто-
той к графику функции, если при стремлении к бесконечности расстояние от
графика до прямой стремится к нулю.
Асимптоты бывают вертикальными, они показывают поведен ие функции в
окрестности особой точки, когда y → ±∞, и наклонными, дающими представ-
ление о поведении функции при x → ±∞. Если a – особая точка, то уравнение
вертикальной асимптоты x = a.
Кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту при x → ∞, уравнение кото-
рой y = kx + b, если существуют пределы:
lim
x→∞
f(x)
x
= k и lim
x→∞
[f(x) − kx] = b.
В случае k = 0 асимптота называется горизонтальной, ее уравнение y = b =
= lim
x→∞
f(x).
9.5. План исследования функции и построения ее графика.
1. Область определения функции, е е особые точки, вертикальные ас имптоты.
2. Исследование поведения функции при x → ∞. Наклонные (горизонталь-
ные) асимптоты.
3. Вид функции (четная/нечетная/общего вида). Периодичность.
4. f(x) = 0 ⇒ нули функции, интер валы знакопостоянства.
5. f
′
(x) = 0 ⇒ точки экстремума, интервалы монотонности.
28
x0 является точкой минимума (максимума).
    9.3. Исследование выпуклости функции. Функция y = f (x) назы-
вается выпуклой вверх (вниз) на интервале (a, b), если касательные к графику
функции на этом интервале расположены выше (ниже) графика функции.
    Достаточное условие выпуклости функции. Если функция дважды
дифференцируема на этом отрезке и f ′′ (x) > 0, то функция является выпуклой
вниз. Если f ′′(x) < 0, то функция является выпуклой вверх.
    Точки, в которых выпуклость переходит в вогнутость, или наоборот, назы-
ваются точками перегиба функции. При переходе через эти точки вторая произ-
водная f ′′(x) меняет знак.
    9.4. Асимптоты к графику функции. Прямая называется асимпто-
той к графику функции, если при стремлении к бесконечности расстояние от
графика до прямой стремится к нулю.
    Асимптоты бывают вертикальными, они показывают поведение функции в
окрестности особой точки, когда y → ±∞, и наклонными, дающими представ-
ление о поведении функции при x → ±∞. Если a – особая точка, то уравнение
вертикальной асимптоты x = a.
    Кривая y = f (x) имеет наклонную асимптоту при x → ∞, уравнение кото-
рой y = kx + b, если существуют пределы:
       f (x)
     lim     =k и        lim [f (x) − kx] = b.
    x→∞ x                x→∞

В случае k = 0 асимптота называется горизонтальной, ее уравнение y = b =
= lim f (x).
  x→∞
    9.5. План исследования функции и построения ее графика.
  1. Область определения функции, ее особые точки, вертикальные асимптоты.
  2. Исследование поведения функции при x → ∞. Наклонные (горизонталь-
    ные) асимптоты.
  3. Вид функции (четная/нечетная/общего вида). Периодичность.
  4. f (x) = 0    ⇒   нули функции, интервалы знакопостоянства.
  5. f ′(x) = 0   ⇒   точки экстремума, интервалы монотонности.

                                       28

Страницы