Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пример 3. Найти производную функции y = sin x
2
.
Здесь y(x) – сложная функция, где внешняя функция f(u) = sin u и внут-
ренняя u = g(x) = x
2
. По правилу дифференцирования сложной функции
y
′
= (sin(x
2
))
′
= (sin u)
′
u
· (x
2
)
′
x
= cos u · 2 x = 2x cos x
2
.
Пример 4. Найти производную y = arctg
x
3
e
2x
.
По правилу дифференцирования сложной функции вначале берем произ-
водную о т вн ешней функции (arctg u):
y
′
=
arctg(x
3
e
2x
)
′
=
1
1 + (x
3
e
2x
)
2
·
x
3
e
2x
′
= . . .
Далее нам потребуется формула дифференцирования произведен ия :
. . . =
1
1 + x
6
e
4x
·
(x
3
)
′
e
2x
+ x
3
e
2x
′
= . . .
Функция e
2x
также является сложной, поэтому
. . . =
3x
2
e
2x
+ x
3
e
2x
(2x)
′
1 + x
6
e
4x
=
3x
2
e
2x
+ 2x
3
e
2x
1 + x
6
e
4x
=
(3 + 2x)x
2
e
2x
1 + x
6
e
4x
.
8.3. Задания к теме. Найти производные функций:
1. y =
1
x
+
1
x
2
+
1
x
3
. 2. y = 6
3
√
x − 4
4
√
x. 3. y = x
2
cos x.
4. y =
cos x
x
2
. 5. y = x
2
2
x
. 6. y = (1 − 5x)
4
. 7. y =
p
1 − x
2
.
8. y =
√
cos 4x. 9. y = arcsin
√
1 − 4x.
10. y = ln
√
x +
√
x + 1
. 11. y = ln
r
1 + 2x
1 − 2x
.
12. y = x arctg
x
a
−
a
2
ln(x
2
+ a
2
).
13. y = ar ctg e
2x
+ ln
r
e
2x
+ 1
e
2x
− 1
. 14. y = x arccos x −
p
1 − x
2
.
15. y = x
2
p
1 − x
2
. 16. y =
√
4x + 1
x
2
. 17. y =
√
xe
√
x
.
26
    Пример 3. Найти производную функции y = sin x2 .
    Здесь y(x) – сложная функция, где внешняя функция f (u) = sin u и внут-
ренняя u = g(x) = x2. По правилу дифференцирования сложной функции

    y ′ = (sin(x2))′ = (sin u)′u · (x2)′x = cos u · 2x = 2x cos x2.
                                               
    Пример 4. Найти производную y = arctg x3e2x .
    По правилу дифференцирования сложной функции вначале берем произ-
водную от внешней функции (arctg u):
                       ′                1                
                                                      3 2x ′
    y ′ = arctg(x3e2x ) =                         · x  e     = ...
                                    1 + (x3e2x )2
Далее нам потребуется формула дифференцирования произведения:
              1                    
                        3 ′ 2x  3 2x ′
    ... =           · (x ) e + x e     = ...
          1 + x6e4x
Функция e2x также является сложной, поэтому

          3x2e2x + x3e2x (2x)′ 3x2e2x + 2x3e2x   (3 + 2x)x2e2x
    ... =                     =                =               .
               1 + x6e4x          1 + x6e4x        1 + x6e4x
    8.3. Задания к теме. Найти производные функций:
           1     1     1           √     √
    1. y =    + 2 + 3 . 2. y = 6 3 x − 4 4 x. 3. y = x2 cos x.
           x x         x
           cos x                                          p
    4. y = 2 . 5. y = x2 2x . 6. y = (1 − 5x)4. 7. y = 1 − x2.
             x
           √                       √
    8. y = cos 4x. 9. y = arcsin 1 − 4x.
               √                          r
                        √                     1 + 2x
    10. y = ln     x + x + 1 . 11. y = ln            .
                                              1 − 2x
                     x a
    12. y = x arctg − ln(x2 + a2 ).
                     a 2
                          r
                            e2x + 1                       p
                    2x
    13. y = arctg e + ln            . 14. y = x arccos x − 1 − x2.
                            e2x − 1


                    p                         √
                2                                 4x + 1          √ √x
    15. y = x           1−   x2 .   16. y =              . 17. y = xe .
                                                   x2
                                                  26

Страницы