Молекулярная физика. Афанасьев А.Д - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

22
Оценка дисперсии
Дисперсию выборочных средних, относительно центра распределения -
генерального среднего
x
, можно найти следующим образом.
Пусть мы имеем выборку
n
xxx ,...,
21
из независимых вариант.
Поскольку
N
xxx
x
N
+
+
+
=
...
21
,
то
N
xxxxN
+
+
+
=
...
21
,
так что
(
)
(
N
xxxxN +++= ...
21
22
σσ
,
согласно (33)
(
)
(
)
xNxN
222
σσ =
.
В то же время
(
)
(
)
(
)
(
)
NN
xxxxxx
2
2
2
1
2
21
2
...... σσσσ +++=+++
,
так как все
(
)
x
2
σ
одинаковы, то можно написать:
(
)
(
)
xNxxx
N
2
21
2
...
σσ =+++
.
Заменив левую и правую части в равенстве (41), получим
(
)
(
)
xNxN
222
σσ =
,
откуда
( )
(
)
N
x
x
2
2
σ
σ =
(42)
и
( )
(
)
N
x
x
σ
σ =
.
Стандартное отклонение среднего выборочного значения от
генерального среднего в
N
раз меньше, чем стандартное отклонение
каждого отклонения варианты от генерального среднего.
Величину
(
)
x
σ
принято называть также стандартной ошибкой
среднего значения.
Итак, мы нашли, что
x
может служить оценкой для
ˆ
x
. Можно ли
утверждать, что выборочная дисперсия S
2
может служить оценкой
генеральной дисперсии
2
σ
?
Воспользуемся свойством среднего (5), что сумма квадратов
отклонений вариант от среднего меньше, чем сумма квадратов отклонений от
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                      Оценка дисперсии
               Дисперсию выборочных средних, относительно центра распределения -
          генерального среднего x , можно найти следующим образом.
                Пусть мы имеем выборку x1 , x2 ,...xn из независимых вариант.
                                x1 + x2 + ... + xN
                Поскольку x =                      ,
                                        N
          то Nx = x1 + x2 + ... + x N ,

          так что σ
                      2
                          (Nx ) = σ 2 (x1 + x2 + ... + xN ) ,
          согласно (33) σ ( Nx ) = N σ ( x ) .
                         2          2 2



          В то же время σ ( x1 + x2 + ... + xN ) = σ (x1 ) + σ ( x2 ) + ... + σ ( xN ) ,
                         2                          2         2                2



          так как все       σ 2 (x )   одинаковы, то можно написать:
                                       σ 2 ( x1 + x2 + ... + xN ) = Nσ 2 ( x ) .
          Заменив левую и правую части в равенстве (41), получим
                                       N 2σ 2 ( x ) = N σ 2 ( x ) ,
          откуда
                                                            σ 2 (x )
                                                   σ (x ) =
                                                      2
                                                                                           (42)
                                                              N
                                              σ (x )
                и                                 σ (x ) =
                                                     .
                                                N
               Стандартное отклонение среднего выборочного значения от
          генерального среднего в    N раз меньше, чем стандартное отклонение
          каждого отклонения варианты от генерального среднего.
               Величину σ ( x )   принято называть также стандартной ошибкой
          среднего значения.
               Итак, мы нашли, что x может служить оценкой для x̂ . Можно ли
          утверждать, что выборочная дисперсия S2 может служить оценкой
          генеральной дисперсии σ ?
                                           2

               Воспользуемся свойством среднего (5), что сумма квадратов
          отклонений вариант от среднего меньше, чем сумма квадратов отклонений от



                                                          22
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы