Составители:
Рубрика:
19
Глава 2. Евклидовы пространства
§ 1. Введение
Одна из важных черт изучения в средней школе разделов математики
состоит в том, что она дает возможность вычислять длины, углы, площади,
объемы и т. д. Для того чтобы распространить возможность таких измерений на
абстрактные линейные пространства, обратимся к понятию скалярного
произведения двух векторов
a
и
b
, которое было введено в векторной алгебре.
В согласии с определением можем написать формулу
⋅
a
b =
⋅
a
(
)
bab ,cos
⋅
, (2.1)
которая по известным длинам
a
и
b
векторов
a
и b и углу
(
)
ba,
между
ними позволяет найти их скалярное произведение. Было также показано, что
если векторы
a
и b заданы своими координатами
zyx
aaa ,,
и
zyx
bbb ,,
, то
скалярное произведение может быть вычислено по формуле
⋅
a
zzyyxx
bababa
+
+
=
b . (2.2)
Заметим, что если известны координаты векторов
a
и b, то, используя
формулу (2.2), мы сможем вычислить их скалярное произведение и квадрат
длины (как скалярное произведение на самого себя.) Зная же скалярное
произведение векторов и длины каждого из них, мы сможем с помощью
формулы (2.1) найти угол между векторами.
Используя понятие координат вектора абстрактного линейного
пространства, повторим только что приведенное для векторов
рассуждение, т.
е. сначала укажем правило отыскания «скалярного произведения» векторов
a
и
b линейного пространства по их координатам (понятие «длины» вектора
линейного пространства определяется как корень квадратный из скалярного
произведения вектора на самого себя), а затем с помощью формулы (2.1)
получим определение «угла» между векторами. Такое формальное определение
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
