Составители:
Рубрика:
23
§ 4. Неравенство Коши-Буняковского
Теорема. В евклидовом пространстве скалярное произведение произвольных
векторов
a
и
b
не превышает произведения длин этих векторов, т. е. имеет
место неравенство
(
)
baba
⋅
≤
,
. (2.5)
Заметим, что неравенство называют неравенством Коши-Буняковского.
Доказательство. Для доказательства неравенства (2.5) заметим, что в
согласии с условием 4 определения евклидова пространства, можем написать
(
)
0, ≥
−
−
baba
α
α
, (2.6)
где
α
– любое вещественное число. Используя дважды условие 2, можем
написать левую часть неравенства (2.6) в виде
(
)
(
)
(
)
=
−
−
−
=
−
−
babbaababa
α
α
α
α
α
,,,
(
)
(
)
(
)
(
)
bbabbaaa ,,,,
+
−
−
=
α
α
α
α
.
Воспользовавшись теперь условием 3, получим
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
bbabbaaababa ,,,,,
2
+
−
−
=−−
α
α
α
α
α
.
Обратившись к условию 1, запишем неравенство (2.6) окончательно в
виде
(
)
(
)
(
)
0,,2,
2
≥
+
−
bbbaaa
α
α
.
В левой части последнего неравенства стоит квадратный трехчлен
относительно
α
. Так как этот трехчлен неотрицателен при любом
α
, то его
дискриминант не может быть положительным, т. е.
()
(
)
(
)
0,,,
2
≤− bbaaba
.
Записав последнее неравенство в виде
()
(
)
(
)
bbaaba ,,,
2
≤
и извлекая, квадратный корень из обеих частей неравенства, получим (2.5).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
