Составители:
Рубрика:
24
§ 5. Неравенство треугольника
Для произвольных векторов
a
и b евклидового пространства
выполняется неравенство
baba
+
≤
+
, (2.7)
называемое неравенством треугольника.
Для доказательства справедливости (2.7) заметим, что квадрат длины
вектора
a
+ b равен скалярному произведению вектора
a
+ b на самого себя,
т. е.
(
)
bababa ++=+ ,
2
. (2.8)
Обращаясь последовательно к условию 2 в определении евклидова
пространства два раза, а затем к условию 1, можем написать
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=+
+
+
=
+
+
+
=++ bbabbaaababbaababa ,,,,,,,
(
)
(
)
(
) ()
22
,2,,2, bbaabbbaaa ++=++=
.
Используя неравенство Коши-Буняковского, получим
()
(
)
222
2, babbaababa +=+⋅+≤++
. (2.9)
Из сравнения (2.8) и (2.9) следует справедливость (2.7). Заметим, что если
a
и
b означают векторы, изученные ранее в курсе геометрии, то неравенство (2.7)
означает, что длина стороны треугольника не больше суммы длин других его
сторон.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
