Составители:
Рубрика:
59
является симметричным оператором.
Теорема. Собственные векторы симметричного оператора
D
A
, отвечающие
различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Доказательство. Пусть имеют место равенства
111
xxA
λ
=
D
, (6.8)
222
xxA
λ
=
D
, (6.9)
где
1
λ
и
2
λ
– собственные значения оператора
D
A
, причем
21
λ
λ
≠
.
Умножим равенство (6.8) скалярно на
2
x , а (6.9) на
1
x и вычтем второе из
первого. Тогда можем написать
()()
21212121
,,, xxxAxxxA
λλ
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
DD
. (6.10)
Так как оператор
D
A
симметричный, то левая часть равенства (6.10) равна
нулю, а это значит, что при
21
λ
λ
≠
выполняется равенство
(
)
0,
21
=xx , что и
требовалось доказать.
Примем без доказательства следующие теоремы.
Теорема. Симметричный оператор
D
A
в
n
-мерном евклидовом пространстве
R
имеет
n
взаимно ортогональных собственных векторов.
Теорема. Если матрица
A
симметрична, то соответствующее ей
характеристическое уравнение (6.4) не имеет комплексных корней. Каждому
вещественному корню
λ
уравнения (6.4) отвечает ровно столько линейно
независимых решений системы (6.3), какова кратность корня
λ
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
