Составители:
Рубрика:
70
и указать соответствующий базис в пространстве
R
.
Можно показать, что эта задача не всегда имеет решение. Если же
допустить дополнительно, что одна из этих форм, например
(
)
xx,B ,
положительно определенная, то поставленная задача имеет решение.
Для того чтобы в этом убедиться обозначим через
(
)
yx,B симметричную
билинейную форму, соответствующую квадратичной форме
(
)
xx,B и в
пространстве
R
евклидову метрику, положив
(
)
(
)
yxyx ,, B
=
. (7.13)
Так как квадратичная форма
(
)
xx,B симметричная и положительно
определенная, то аксиомы скалярного произведения выполняются.
Ранее было показано, что существует ортонормированный базис
(относительно введенной нами метрики), в котором квадратичная форма
принимает вид
(
)
22
22
2
11
...,
nn
xxxA
λ
λ
λ
+
+
+
=
xx , (7.14)
где
n
x
x
x
...,,,
21
– координаты вектора
x
в построенном базисе.
В этом же базисе вторая квадратичная форма
(
)
xx,B имеет вид
(
)
22
2
2
1
...,
n
xxxB
+
+
+
=
xx ,
а это значит, что базис, в котором обе квадратичные формы
(
)
xx,A и
(
)
xx,B
имеют канонический вид, существует.
Для того чтобы найти координаты векторов искомого базиса, рассмотрим
вопрос о значениях, которые принимает квадратичная форма
(
)
xx,A на
единичной сфере
(
)
1, =xx евклидова пространства
R
и о нахождении
стационарных значений формы. Заметим, что дифференцируемая функция
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
