Составители:
Рубрика:
78
Глава 8. Элементы теории метрических пространств
§ 1. Определение метрического пространства
Потребности науки и техники потребовали изучения значительно более
общего понятия пространства по сравнению с эвклидовым пространством.
Ниже мы рассмотрим основные понятия теории метрических пространств, то
есть множеств, состоящих из элементов произвольной природы, на которое
накладывается только одно требование: должно быть определено понятие
расстояния между его элементами, удовлетворяющее некоторым условиям.
Определение.
Метрическим пространством называется всякое множество
X
элементов произвольной природы вместе с однозначной,
неотрицательной, действительной функцией
(
)
yx,
ρ
, определенной для
любых элементов
x и
y
из
X
, удовлетворяющих следующим трем
условиям:
1.
(
)
0, =yx
ρ
тогда и только тогда, когда
y
x
=
;
2.
(
)
(
)
xyyx ,,
ρ
ρ
= аксиома симметрии;
3. для любых трех элементов
z
y
x ,, выполняется неравенство
(
)
(
)
(
)
yzzxyx ,,,
ρ
ρ
ρ
+≤ аксиома треугольника.
Определение. Элементы
x
и
y
метрического пространства
X
называют точками, функцию
(
)
yx,
ρ
– расстоянием между точками
x
и
y
, а само метрическое пространство, т.е. пару
ρ
,
X
обозначают одной
буквой
(
)
ρ
,XR = .
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Множество действительных чисел с расстоянием
(
)
yxyx
−
=
,
ρ
образует метрическое пространство
R
′
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
