Составители:
Рубрика:
82
Определение. Множество
A
называется плотным в множестве
B
, если
[]
BA ⊃
. В частности, множество
A
называется всюду плотным (в
пространстве
R
), если его замыкание
[
]
A
совпадает со всем
пространством
R
.
Например, множество рациональных чисел всюду плотно на числовой
прямой.
Пространства, в которых имеется счетные всюду плотные множества,
называют сепарательными.
Определение. Множество
R
M
⊂ называется замкнутым, если оно
содержит все свои предельные точки или, что то же самое, если оно
совпадает со своим замыканием:
[
]
MM
=
.
Определение. Последовательность
{
}
n
x точек метрического
пространства
R
называется фундаментальной, если для любого 0>
ε
существует такое число
ε
N
, что для всех
ε
N
n >
и
ε
N
m >
выполняется
неравенство
(
)
ε
ρ
<
mn
xx , .
Нетрудно заметить, что всякая сходящаяся последовательность является
фундаментальной. Однако обратное утверждение верно не во всяком
метрическом пространстве.
Определение. Если в метрическом пространстве
R любая
фундаментальная последовательность сходится, то это пространство
называется полным.
Например, евклидовы пространства
R
′
,
n
R
, а также пространство
[]
baC ,
являются полными.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
