Составители:
Рубрика:
83
§ 3. Принцип сжимающих отображений
Вопрос о существовании и единственности решений алгебраических,
трансцендентных, дифференциальных и других типов уравнений можно
сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности
неподвижной точки при некотором отображении соответствующего
метрического пространства в себя. Одним из критериев существования и
единственности неподвижной точки при такого рода отображениях является
так
называемый принцип сжимающих отображений.
Отображение
A
метрического пространства
R
в себя называется
сжимающим отображением, если существует такое число
1<
α
, что для
любых двух точек
x и
y
пространства
R
выполняется неравенство
(
)
(
)
yxAyAx ,,
αρ
ρ
≤
.
Точка
x
называется неподвижной точкой отображения
A
, если
выполняется равенство
x
A
x
=
.
Можно показать, что имеет место следующее утверждение.
Теорема (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее
отображение, определенное в полном метрическом пространстве
R
, имеет
одну и только одну неподвижную точку.
Принцип сжимающих отображений можно использовать для
доказательства существования и единственности решений для уравнений
различных типов. Следует отметить, что принцип сжимающих отображений
позволяет не только доказать существование и единственность решения, но и
дает метод нахождения приближенного решения. Этот метод называют
методом итераций или методом
последовательных приближений.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
