ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10
функции. В тех случаях, когда отклоненное состояние опре-
деляется несколькими параметрами a
1
, a
2
, a
n
,, через которое
будет выражаться и энергия системы, необходимые условия
минимума потенциальной энергии записываются так:
,0
1
=
∂
∂
a
V
,0
2
=
∂
∂
a
V
…
0=
∂
∂
n
a
V
,
где:
() ()
;
2
1
2
1
22
∫∫
′
−
′′
= dxyPdxyEJV
кр
(
)
∗
Ритц предлагает изогнутую линию при потере устой-
чивости приближенно представить с помощью ряда:
() () () ()
∑
=
=
=+++=
ni
j
jinn
xfaxfaxfaxfay
1
2211
...
где
(
)
(
)()
xfxfxf
n
...,
21
- функции, подобранные сле-
дующим образом:
1) каждая должна удовлетворять граничным условиям;
2) каждая должна представлять по возможности близко
предполагаемую форму изгиба;
3) дифференциальному уравнению изгиба эти функции
могут не удовлетворять.
Определяя
y
′
и
y
′′
и подставляя в уравнение (*) полу-
чают V как функцию параметров
n
aaa ,...,
21
.
Далее:
,0
1
=
∂
∂
a
V
,0
2
=
∂
∂
a
V
0=
∂
∂
n
a
V
(**)
Равенство (**) представляет собой систему линейных
однородных уравнений относительно
n
aaa ,...,
21
; в коэффи-
циенты при
i
a входит нагрузка P. Если 0
=
i
a , то решением
системы (**) явится определитель
0
=
D
(***). Это уравне-
ние будет содержать нагрузку в степени n. Решая его мы по-
лучим n значений P. Наименьшее значение будет прибли-
женно отвечать первой P
кр
.
Пример Рис. 8. Определить P
кр
для
стержня, с защемленным одним концом и
свободным другим концом.
Представим упругую линию в первом
приближении в виде отрезка квадратной па-
раболы
2
1
2
1
,
0,0,0
laylx
yyxПри
xay
==
=
′
==
=
1
1
2
2
ay
xay
=
′′
=
′
;
3
224
2
4
2
1
2
1
2
1
22
1
0
2
1
l
PalEJadxxa
P
dxaEJV
l
−=−=
∫∫
0
3
4
4
3
11
1
=−=
∂
∂
lPalaEJ
a
V
;
2
3
l
EJ
P
кр
= (точное решение 4674,2
4
2
=
π
, ошибка око-
ло 20%).
Во втором приближении введем новый независимый
параметр
2
a и примем:
,
4
2
2
1
xaxay +=
2
2
3
21
122
42
xaay
xaxay
+=
′′
+=
′
()()
∫∫
=+−+=
ll
dxxaxa
P
dxxaa
EJ
V
0
2
3
21
0
2
2
21
42
2
122
2
;
7
4
5
4
3
2
5
36
42
62
2
4
21
2
1
352
2
3
21
2
1
++−
++=
lalaaa
PllalaalaEJ
Рис.8
функции. В тех случаях, когда отклоненное состояние опре-
деляется несколькими параметрами a1, a2, an,, через которое Пример Рис. 8. Определить Pкр для
будет выражаться и энергия системы, необходимые условия стержня, с защемленным одним концом и
минимума потенциальной энергии записываются так: свободным другим концом.
∂V ∂V ∂V Представим упругую линию в первом
= 0, = 0, … = 0, приближении в виде отрезка квадратной па-
∂a1 ∂a 2 ∂a n
раболы
1 1
где: V = EJ ∫ ( y′′) dx − Pкр ∫ ( y′) dx; (∗)
2 2
y = a1 x 2
2 2 y ′ = a 1 2x
Ритц предлагает изогнутую линию при потере устой- Рис.8 При x = 0, y = 0, y ′ = 0
чивости приближенно представить с помощью ряда: y ′′ = 2a 1
i =n x = l , y = a1l 2
y = a1 f 1 ( x ) + a 2 f 2 ( x ) + ... + a n f n ( x ) = ∑ ai f j ( x ) l
1 P l
j =1
V = EJ ∫ 4a12 dx − ∫ 4a12 x 2 dx = 2 EJa12l − 2 Pa12 ;
где f1 ( x ), f 2 ( x )... f n ( x ) - функции, подобранные сле- 2 0 2 3
дующим образом: ∂V 4
= EJ 4a1l − Pa1l 3 = 0 ;
1) каждая должна удовлетворять граничным условиям; ∂a1 3
2) каждая должна представлять по возможности близко
предполагаемую форму изгиба; 3EJ π2
Pкр = (точное решение = 2,4674 , ошибка око-
3) дифференциальному уравнению изгиба эти функции l2 4
могут не удовлетворять. ло 20%).
Определяя y ′ и y ′′ и подставляя в уравнение (*) полу- Во втором приближении введем новый независимый
чают V как функцию параметров a1 , a 2 ,...a n . параметр a 2 и примем:
∂V ∂V ∂V y ′ = 2a1 x + 4a 2 x 3
Далее: = 0, = 0, =0 (**) y = a1 x 2 + a 2 x 4 ,
∂a1 ∂a 2 ∂a n y ′′ = 2a + 12a 2 x 2
l l
∫ (2a ) ( )
Равенство (**) представляет собой систему линейных EJ 2 2 P 2
V = + 12a 2 x dx − ∫ 2a1 x + 4a 2 x 3 dx =
однородных уравнений относительно a1 , a 2 ,...a n ; в коэффи- 2 0
1
20
циенты при ai входит нагрузка P. Если ai = 0 , то решением 36 a 2 4a a l 4 4a 2 l 6
системы (**) явится определитель D = 0 (***). Это уравне- = 2 EJ a1l 2 + 4a1 a 2 l 3 + a 22 l 5 − 2 Pl 3 1 + 1 2 + 2 ;
5 3 5 7
ние будет содержать нагрузку в степени n. Решая его мы по-
лучим n значений P. Наименьшее значение будет прибли-
женно отвечать первой Pкр.
10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
