Лекции по основам устойчивости сооружений. Агалов М.Ш. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

14
5. Устойчивость стержня с упруго закрепленными
концами
В сооружениях, кроме стержней со свободными и же-
сткозакрепленными концами, встречаются также стержни с
упруго закрепленными концами.
Пример 1 (Рис. 13)
Упругую заделку
будем характеризовать
величиной поворота уг-
ла ϕ от момента M=1.
;MyEJ
=
′
′
(
)
yfPM
−
=
,PyPfyEJ
−
=
′
′
,PfPyyEJ
=
+
′
′
,
22
fnyny =+
′′
где
EJ
P
n =
2
21
yyy
+
=
;cossin
211
nxCnxCy +
=
,
2
Ay
=
′
,
22
fnAn =
fyA ==
2
;cossin
21
fnxCnxCy
+
+=
граничные условия:
,0
=
x ,0=y
ϕ
=
′
y ,lx
=
fy
=
1)
;0
2
=
+
fC fC
=
2
2)
;
1
nC
=
ϕ
n
C
ϕ
=
1
;
3)
ffnlCnlC
=
+
+
cossin
21
0cossin =− nlfnl
n
ϕ
(*).
Составим уравнение равновесия в виде суммы момен-
тов всех сил относительно неподвижной опоры A:
∑
= 0
A
M ,02
=
−
arfP
IIкр
δ
Откуда
P
ar
f
II
ϕ
2
2
= ; подставив в уравнение (*), получим:
,0cos
2
sin
2
=− nl
P
ar
nl
n
II
ϕ
ϕ
далее
,
2
2
P
nar
tqnl
II
=
но так как EJnP
2
= ; окончательно получим:
;
2
2
nEJ
ar
tqnl
II
=
зная r
II
, подбором получим значение F
кр
.
При r
II
=∞ (что соответствует жесткому опорному стержню)
получаем
∞
=
tqnl или
()
,...9,2,1
2
== inl
.
4
2
2
min
l
EJ
P
кр
π
=
Рис.13 
     5. Устойчивость стержня с упруго закрепленными                                          1) C 2 + f = 0; C 2 = f
                         концами
                                                                                                                                ϕ
                                                                                              2) ϕ = C1 n; C1 =                     ;
                                                                                                                                n
     В сооружениях, кроме стержней со свободными и же-
сткозакрепленными концами, встречаются также стержни с                                                                ϕ
                                                                          3) C1 sin nl + C 2 cos nl + f = f                sin nl − f cos nl = 0 (*).
упруго закрепленными концами.                                                                                          n
                                                                              Составим уравнение равновесия в виде суммы момен-
    Пример 1 (Рис. 13)                                                  тов всех сил относительно неподвижной опоры A:

                                              Упругую заделку                              ∑M   A   = 0 Pкр f − 2rII δa = 0,
                                        будем характеризовать                        2rII a 2ϕ
                                        величиной поворота уг-          Откуда f =             ; подставив в уравнение (*), получим:
                                        ла ϕ от момента M=1.                             P

                                                  EJy′′ = M ;                          ϕ          2rII a 2ϕ
                                                                                         sin nl −           cos nl = 0, далее
                                               M = P( f − y )                          n              P

                                                 EJy′′ = Pf − Py,                                                2rII a 2 n
                                                                                                    tqnl =                  ,
                                                                                                                    P
                                                 EJy′′ + Py = Pf ,
                                                                                но так как P = n 2 EJ ; окончательно получим:
                                                y′′ + n y = n f , где
                                                        2     2


                                                          P                                                      2rII a 2
            Рис.13                                 n2 =                                             tqnl =                ;
                                                         EJ                                                       nEJ

                                                y = y1 + y2             зная rII, подбором получим значение Fкр.
                                                                        При rII=∞ (что соответствует жесткому опорному стержню)
         y1 = C1 sin nx + C 2 cos nx; y ′2 = A, n 2 A = n 2 f ,                                              π
                          A = y2 = f                                    получаем tqnl = ∞ или nl =               (i = 1,2,9,...)
                                                                                                             2
                     y = C1 sin nx + C 2 cos nx + f ;                                                             π 2 EJ
                                                                                                    P  min
                                                                                                      кр     =              .
    граничные условия:                                                                                              4l 2
            x = 0, y = 0, y ′ = ϕ x = l , y = f

                                                                                                                                                        14

Страницы