ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18
а) энергии изгиба стержня
∫
′′
=
l
dxy
EJ
W
0
2
)(
2
(см. выше)
;sin;cos;sin
2
22
l
xm
l
m
ay
l
xm
l
am
y
l
mx
ay
x
πππππ
−=
′′
=
′
=
;sin)(
2
4
44
22
l
xm
l
m
ay
ππ
=
′′
∫∫
===
ll
dx
l
mxEJ
l
ma
dx
l
mx
l
m
a
EJ
w
00
2
4
442
2
4
44
2
1
sin
2
sin
2
ππππ
;
4
22
42
3
4
4
442
ma
l
EJlEJ
l
ma
ππ
==
;2cos
2
1
2
1
sin
2
xx −=
∫∫∫
=−=−= .
2
0
2
2cos
2
1
2
sin
0
2
ll
dx
l
mxdx
dx
l
mx
l
ππ
б) энергии деформации основания:
∫
=
l
dxyw
0
2
2
2
β
,
где β - коэффициент постели (реакция среды при еди-
ничном перемещениии);
βy – статически приложенная сила, (y – перемещение);
dx
y
2
β
- элементарная сила.
∫∫
====
ll
l
a
l
adx
l
xm
adxyw
00
22222
2
422
sin
22
ββπββ
.
Работа груза P на опускание верхнего конца равна
∫
′
=
l
dxy
P
A
0
2
)(
2
(см. энергетический метод расчета)
∫∫
==
=
ll
dx
l
mx
l
maP
dx
l
mx
l
amP
A
00
2
2
222
2
cos
2
cos
2
ππππ
.
422
22
2
2
222
ma
l
Pl
l
mPa
ππ
==
Из условия
21
wwA
+
=
найдем:
22
2
242
2
4
44
ma
l
P
a
l
ma
l
EJ
πβπ
=
+
;
444
2
2
4
3
4
m
l
Pl
m
l
EJ
πβπ
=+
.
24
4
2
2
2
+=
EJm
l
m
l
EJ
F
кр
π
βπ
Число полуволн «m» изогнутой оси стержня зависит от
коэффициента постели (упругости среды) β.
При малых значениях β необходимо принимать m=1.
Граничные значения β, при которых изгиб будет про-
исходить по двум полуволнам, найдется из условия, что F
кр.
,
определяемое выше полученной формулой, будет иметь од-
но и то-же значение как при m=1, так и при m=2.
В этом случае будет соблюдаться равенство
;
4
41
4
4
4
4
E
J
l
E
J
l
π
β
π
β
+=+ ,1644
4444
lEJlEJ
βπβπ
+=+
;123
44
EJl
πβ
=
4
4
4
l
EJ
π
β
= .
Следовательно, если
,
4
4
4
l
EJ
π
β
< то
1
=
m
;
а) энергии изгиба стержня P
l
EJ
l A=
20∫ ( y′) 2 dx (см. энергетический метод расчета)
2 ∫0
W= ( y′′) 2 dx (см. выше)
2
P amπ πmx P a 2 m 2π 2 πmx
l l
πmx amπ mπx mπ
2 2
mπx A = ∫ cos dx = ∫ 2
cos 2 dx =
y x = a sin ; y′ = cos ; y ′′ = −a 2 sin ; 2 0 l l 20 l l
l l l l l
Pa 2 m 2π 2 l π 2 P 2 2
π 4m4 mπx = = am.
( y ′′) 2 = a 2 4 sin 2 ; 2l 2 2 4l
l l
Из условия A = w1 + w2 найдем:
2 π m 2 πmx a 2π 4 m 4 EJ πmx
l 4 4 l
EJ
w1 = ∫
2 0
a
l 4
sin
l
dx =
l 4 ∫
2 0
sin 2
l
dx = π 4 EJ 2 4 βl 2 π 2 P 2 2
2 am + a = am
l 4 4l
a 2π 4 m 4 EJ l π 4 EJ 2 4
= = a m ; π 4 EJ 4 βl π 2 P 2
l4 2 2 4l 3 m + = m ;
1 1 4l 3 4 4l
sin 2 x = − cos 2 x; π 2 EJ βl 4
2 2 Fкр = 2 m 2 + 4 2 .
l π m EJ
2 πmx πmx
l
dx 1 l l
∫ sin l dx = ∫0 2 − ∫ 2 cos 2 l dx = 2 − 0 = 2 . Число полуволн «m» изогнутой оси стержня зависит от
коэффициента постели (упругости среды) β.
б) энергии деформации основания:
При малых значениях β необходимо принимать m=1.
βl Граничные значения β, при которых изгиб будет про-
w2 = ∫ y 2dx ,
20 исходить по двум полуволнам, найдется из условия, что Fкр.,
где β - коэффициент постели (реакция среды при еди- определяемое выше полученной формулой, будет иметь од-
ничном перемещениии); но и то-же значение как при m=1, так и при m=2.
βy – статически приложенная сила, (y – перемещение); В этом случае будет соблюдаться равенство
βy βl 4 βl 4
dx - элементарная сила. 1+ 4 = 4+ ; 4π 4 EJ + 4 βl 4 = 16π 4 EJ + βl 4 ,
2 π EJ 4π EJ
4
βl βl mπx β l βl 4π 4 EJ
w2 = ∫ y 2dx = ∫ a 2 sin 2 dx = a 2 = a 2 . 3βl 4 = 12π 4 EJ ; β = .
20 20 l 2 2 4 l4
Работа груза P на опускание верхнего конца равна 4π 4 EJ
Следовательно, если β < , то m = 1 ;
l4
18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
