Лекции по основам устойчивости сооружений. Агалов М.Ш. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

26
E
J
P
n
кр
=
2
Общее решение неоднородного дифференциального
уравнения (*) складывается из общего решения однородного
уравнения (без правой части уравнения (*)) и частного ре-
шения неоднородного уравнения:
21
yyy
+
= ,
где общее решение
.cossin
211
nxCnxCy
+
=
Согласно принципу независимости действия сил от-
клонение стержня при потере устойчивости пропорциональ-
но действующей нагрузке Pyy
частное
≈
=
2
, следовательно, в
дифференциальном уравнении (*)
,0
=
′
′
y
тогда ,
2
2
2
δ
nyn =
2
2
ny = и полное решение будет иметь вид:
δ
+
+= nxCnxCy cossin
21
.
Граничные условия для определения произвольных по-
стоянных будут:
при
0
=
x 1) ,0=y 2) ,0=
′
y 3) ;hx
=
δ
−
=
y
1)
;0
2
δ
+
=
C
δ
−=
2
C
2)
nxnCnxnCy sincos
21
−
=
Θ
=
′
h
CnC
Θ
==Θ
11
;
3)
δ
δ
++
=
nhCnhC cossin
21
;cossin nhnh
h
δ
−
Θ
(**)
Чтобы в уравнении (**) избавиться от неизвестных
величин Θ и δ, рассмотрим деформацию балки, находящейся
в основании (рис. 25). Её деформация происходит в результа-
те действия сосредоточенного момента, равного
δ
P (рис.
25,а).
Для определения уг-
ла поворота Θ необходимо
вычислить интеграл Мора:
===
∑
∫
1
3
2
3
22
nEJ
lP
EJ
dxMM
кр
F
δ
θ
2
3EJ
lP
кр
δ
= .
Подставив получен-
ное значение Θ в уравне-
ние (**), получим:
0
cos
cos
cos
sin
3
2
=−
nh
nh
nh
nh
nEJ
lP
кр
δ
δ
;
кр
P
l
htqnhJ
=
2
3
.
Пример 2 (рис. 26). Найти величину критической силы.
Энергетический способ
;WA
=
pPA
∆
=
;
2
2
)cos1(2cos22
2
2
α
α
αα
l
ltq
llp ==−=−=∆
2
α
PlA =
а)
б)
с)
Рис.25 
                                   Pкр                             те действия сосредоточенного момента, равного Pδ (рис.
                            n2 =                                   25,а).
                                EJ
     Общее решение неоднородного дифференциального                                                         Для определения уг-
уравнения (*) складывается из общего решения однородного                                             ла поворота Θ необходимо
уравнения (без правой части уравнения (*)) и частного ре-           а)                               вычислить интеграл Мора:
шения неоднородного уравнения:                                                                                M Mdx Pкрδl 2
                                                                                                     θ = ∑∫ F        =         1=
                           y = y1 + y2 ,                                                                        EJ2    3EJ2n 3
     где общее решение                                              б)                                  Pкрδl
                    y1 = C1 sin nx + C 2 cos nx.                                                     =        .
                                                                                                       3EJ 2
     Согласно принципу независимости действия сил от-
                                                                                                           Подставив получен-
клонение стержня при потере устойчивости пропорциональ-
                                                                                                     ное значение Θ в уравне-
но действующей нагрузке yчастное = y2 ≈ P , следовательно, в        с)                               ние (**), получим:
 дифференциальном уравнении (*) y ′′ = 0, тогда n 2 y 2 = n 2δ ,                                      Pкрδl sin nh δ cosnh
  y 2 = n 2 и полное решение будет иметь вид:                                                                     −        = 0;
                                                                               Рис.25                3EJ2n cosnh cosnh
                         y = C1 sin nx + C 2 cos nx + δ .                                  3J 2 htqnh
        Граничные условия для определения произвольных по-                                            = Pкр .
                                                                                                l
 стоянных будут:
        при x = 0 1) y = 0, 2) y ′ = 0, 3) x = h; y = −δ                 Пример 2 (рис. 26). Найти величину критической силы.
        1) 0 = C 2 + δ ; C 2 = −δ
        2) y ′ = Θ = C1 n cos nx − C 2 n sin nx                          Энергетический способ
                           Θ                                                             A = W;           A = P∆p
         Θ = C1 n; C1 =                                                                                               2ltq 2α
                           h                                                  ∆p = 2l − 2 cos α = 2l (1 − cos α ) =           = lα 2 ;
        3) δ = C1 sin nh + C 2 cos nh + δ                                                                                2
         Θ                                                                                         A = Plα 2
            sin nh − δ cos nh; (**)
         h
           Чтобы в уравнении (**) избавиться от неизвестных
величин Θ и δ, рассмотрим деформацию балки, находящейся
в основании (рис. 25). Её деформация происходит в результа-


                                                                                                                                         26

Страницы