ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6
вестно, может быть заменена одним дифференциальным
уравнением.
Пример (Рис.6). При значении P=P
кр.
стержень теряет
устойчивость и изгибается в плоскости наименьшей жестко-
сти.
Составим дифференциальное
уравнение изгиба для малых откло-
нений от прямоугольной формы
равновесия. При малых перемеще-
ниях в качестве уравнений изгиба
можно принимать приближенные
линейные дифференциальные урав-
нения.
Изгибающий момент в сече-
нии на расстоянии Х определяется
по выражению:
(
)
yfPM
кр
−
=
.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси :
(
)
;yfPMyEJ
кр
−
==
′′
;fkky
zzy
=+
′′
()
* где: ;
E
J
P
k
кр
z
=
Решение этого уравнения
21
yyy
+
=
Общее решение дифференциального уравнения:
kxCkxCy sincos
21
+
=
ищем частное решение. Положим
Ay
=
2
, тогда
0
2
=
′
′
y
.
Подставим
2.
yy
част
=
в дифференциальное уравнение, полу-
чим fkAk
22
0 =+ ; откуда
fyA
=
=
2
, а
fkxCkxCy +
+
= sincos
21
***
Таким образом, уравнение изгиба (***) содержит три
произвольные величины С
1
, С
2
и f ; для их определения
имеем три граничных условия:
При
0
=
x ; прогиб 0
=
y и угол поворота 0
=
′
y
При
ex
′
=
fy
=
fC
+
=
1
0 fC
−
=
1
kC
2
0
=
0
2
≠
k 0
2
=
C
fkeCkeCf
+
+
=
sincos
21
0cos0
=
−
=
kef
0
≠
f
0cos
=
ke ; откуда ;
2
π
=ke ;
2
3
π
2
5
π
…
Низшее значение критической силы при
2
π
=ke
;
2
2
l
k
π
=
;
4
2
2
E
J
P
l
кр
=
π
.
4
2
2
l
EJ
P
кр
π
=
3.2. Энергетический метод
Энергетические признаки устойчивого и неустойчиво-
го равновесия твердого тела следующие.
Всякому возможному отклонению тела от его устойчи-
вого равновесия соответствует возрастание потенциальной
энергии положения и, наоборот, убывание потенциальной
энергии – отклонение от неустойчивого равновесия.
Аналогичные признаки устойчивого и неустойчивого
равновесия имеют место и в упругом теле если при любом
возможном (малом) отклонении стержня от заданной формы
равновесия потенциальная энергия системы возрастает, то
форма равновесия будет устойчивой, и наоборот, при убы-
Рис. 6
вестно, может быть заменена одним дифференциальным Таким образом, уравнение изгиба (***) содержит три
уравнением. произвольные величины С1, С2 и f ; для их определения
Пример (Рис.6). При значении P=Pкр. стержень теряет имеем три граничных условия:
устойчивость и изгибается в плоскости наименьшей жестко- При x = 0 ; прогиб y = 0 и угол поворота y ′ = 0
сти. При x = e′ y = f
Составим дифференциальное
уравнение изгиба для малых откло- 0 = C1 + f C1 = − f
нений от прямоугольной формы 0 = C2 k k 2 ≠ 0 C2 = 0
равновесия. При малых перемеще- f = C1 cos ke + C 2 sin ke + f
ниях в качестве уравнений изгиба 0 = − f cos ke = 0 f ≠0
можно принимать приближенные π 3π 5π
линейные дифференциальные урав- cos ke = 0 ; откуда ke = ; ; …
нения. 2 2 2
Изгибающий момент в сече- π
Низшее значение критической силы при ke =
нии на расстоянии Х определяется 2
Рис. 6 по выражению: π π 2
Pкр π EJ
2
k= ; = ; Pкр = .
M = Pкр ( f − y ) . 2l 2
4l 2
EJ 4l 2
Дифференциальное уравнение изогнутой оси :
EJy′′ = M = Pкр ( f − y ); 3.2. Энергетический метод
Pкр
y ′′ + k zy = k z f ; (*) где: k z = ; Энергетические признаки устойчивого и неустойчиво-
EJ го равновесия твердого тела следующие.
Решение этого уравнения y = y1 + y 2 Всякому возможному отклонению тела от его устойчи-
Общее решение дифференциального уравнения: вого равновесия соответствует возрастание потенциальной
y1 = C cos kx + C 2 sin kx энергии положения и, наоборот, убывание потенциальной
энергии – отклонение от неустойчивого равновесия.
ищем частное решение. Положим y 2 = A , тогда y 2′′ = 0 .
Аналогичные признаки устойчивого и неустойчивого
Подставим y част. = y 2 в дифференциальное уравнение, полу- равновесия имеют место и в упругом теле если при любом
чим 0+ k2A = k2 f ; откуда A = y2 = f , а возможном (малом) отклонении стержня от заданной формы
y = C1 cos kx + C 2 sin kx + f *** равновесия потенциальная энергия системы возрастает, то
форма равновесия будет устойчивой, и наоборот, при убы-
6
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
