Физика. Агапова Н.Н - 11 стр.

Пример 11. Тонкий стержень длинной L = 20 см несет равномер-                      Пример 12. Электрическое поле образованно положительно за-
но распределенный заряд. На продолжении оси стержня на рас-                       ряженной бесконечной нитью с линейной плотностью заряда τ =
стоянии а = 10 см от ближайшего конца находится точечный за-                      2·10-9 Кл/см. Какую скорость получит электрон, приблизившись к
ряд q1 = 40 нКл, на который со стороны стержня действует сила F                   нити с расстояния r1 = 1 см до расстояния r2 = 0,5 см от нити.
= 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.                                      Дано:
          Дано:                                                                    τ = 2·10 Кл/см = 2·10–7 Кл/м
                                                                                            –9

    L = 20 см = 0,2 м                                                                     r1 = 1 см = 10–2 м
    а = 10 см = 0,1 м                                                                  r2 = 0,5 см = 0,5·10–2 м
q1 = 40 нКл = 40·10–9 Кл                                                                  е = – 1,6·10–19 Кл
  F = 6 мкН = 6·10–6 Н                                                                           v2 = ?
          τ=?                                     Решение:
                                   Сила взаимодействия F заряженно-                  Систему заряженная нить-электрон можно рассматривать как
го стержня с точечным зарядом q1 зависит от линейной плотно-                      замкнутую. Полная энергия электрона, движущегося в потенци-
сти τ заряда на стержне. При вычислении силы F следует иметь                      альном поле заряженной нити, будет постоянной:
ввиду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон                                         Wk + Wp = const ,
Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно
поступить следующим образом. Выделим на стержне (рис.8) ма-                                mv 2
                                                                                  где: Wk =     – кинетическая энергия электрона,
лый участок dr с зарядом dq = τ·dr. Этот заряд можно рассматри-                             2
вать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона:                                     Wp = eϕ – потенциальная энергия электрона.
                                       q τdr                                      На основании закона сохранения энергии:
                                dF = 1 2 .
                                      4πε 0 r                                                          mv12         mv 22
Интегрируя это выражение в пределах от а до а + L получим:                                                  + eϕ1 =       + eϕ 2 .
                                                                                                         2           2
                   a+L
              qτ        dr     q τ ⎛1         1 ⎞      q1τL                       Учитывая, что v1 = 0, получим:
          F= 1 ∫ 2 = 1 ⎜ −                      ⎟=                 .
             4πε 0 a r        4πε 0 ⎝ a a + L ⎠ 4πε 0 a (a + L )                                                2e(ϕ1 − ϕ 2 )
                                                                                                          v2 =                .
Отсюда линейная плотность заряда:                                                                                   m
               4πε 0 a (a + L )F                   1      Кл2                       Для определения разности потенциалов используем связь ме-
           τ=                    , где: ε 0 =                    .                жду напряженностью поля и изменением потенциала:
                     q1 L                       4π·9·109 Н ⋅ м 2
                                                                                                           →
                                                                                                            E = −gradϕ .
                       [τ] = Кл 2 м ⋅ м ⋅ Н = Кл .
                                  2
Размерность:
                             Н ⋅ м Кл ⋅ м         м                               Для поля с осевой симметрией, каким является поле заряженной
                 0,1 ⋅ (0,1 + 0,2) ⋅ 6 ⋅10 −6
                                                           ⎛ Кл ⎞      ⎛ нКл ⎞    бесконечной нити, это соотношение можно записать в виде:
Вычисления: τ =                     −9
                                              = 2,5 ⋅10 −9 ⎜    ⎟ = 2,5⎜     ⎟.                          dϕ
                  9 ⋅10 ⋅ 40 ⋅10 ⋅ 0,2
                         9
                                                           ⎝ м ⎠       ⎝ м ⎠                       E=−      , откуда dϕ = − Edr .
                                                                                                         dr
Ответ: τ = 2,5 нКл/м.
                                       19
                                                                                                                20