ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Эту тему рекомендуется научить по §§ 18–20 учебного пособия
Савельева И.В. "Курс общей физики", т.3.
Нередко для решения задач на гипотезу де Бройля требуется
выразить импульс частицы через ее кинетическую энергию (или
наоборот). При этом надо различать случаи классических и реля-
тивистских частиц.
При решении задач на соотношения неопределенностей нужно
учесть,
что если в задаче стоит вопрос об оценке наименьшей
ошибки или неточности одной из величин, входящих в эти соот-
ношения, то фактически нужно найти неопределенность этой ве-
личины, т.к. имеется в виду неточность в измерениях, связанная
не с несовершенством экспериментальной техники, а с объектив-
ными свойствами исследуемой системы.
Пример 26. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен
пройти электрон, чтобы его длина волны де Бройля λ была равна
1) λ
1
= 0,1 нм, 2) λ
2
= 0,1 пм?
Решение:
Длина волны де Бройля выражается формулой
p
h
=λ ,
где h – постоянная Планка, p – импульс частицы.
Импульс электрона можно выразить через кинетическую энер-
гию электронов. Связь импульса с кинетической энергией раз-
лична для классического случая (когда кинетическая энергия час-
тицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского
случая (когда кинетическая энергия частицы сравнима с ее энер-
гией покоя).
57
В классическом случае
mT2p = ,
mT2
h
=λ , (1)
где m – масса покоя частицы, для электрона m = 9,11·10
–31
кг.
В релятивистском случае
)E2T(T
c
1
p
0
+= ,
)E2T(T
hc
0
+
=λ , (2)
где с = 3 10
8
м/с – скорость света, Е
0
= mc
2
– энергия покоя, для
электрона Е
0
= 0,51 МэВ.
Чтобы решить вопрос, какую формулу, классическую или ре-
лятивистскую, использовать в решении определим порядок дли-
ны волны де Бройля электрона для релятивистского случая
)м(10·42,2
10·3·10·11,9
10·63,6
mc
h
12
831
34
рел
−
−
−
==≅λ .
Для классического случая должно быть λ >> λ
рел
, иначе случай
релятивистский.
Для λ
1
= 10
–10
м условие λ
1
>> λ
рел
выполняется, поэтому в
первом случае можно использовать классическую формулу (1).
Для λ
2
= 10
–13
м условие λ
1
>> λ
рел
не выполняется, поэтому во
втором случае нужно использовать релятивистскую формулу (2).
Определим кинетическую энергию электрона. Если поле уско-
ряющее то работа, совершаемая полем по перемещению электро-
на, идет на увеличение кинетической энергии электрона, т.е.
А = ΔТ = Т
2
– Т
1
.
Будем считать, что начальной кинетической энергией электро-
на можно пренебречь, тогда
Т = А.
Работа в электрического поля по перемещению заряда:
А = qU,
58
где q – заряд частицы, U – пройденная частицей ускоряющая раз-
ность потенциалов. Следовательно
Т = qU.
Подставим полученное значение кинетической энергии в фор-
мулы (1) и (2) и определим из этих формул U
1
и U
2
.
Дано:
λ
1
= 10
–10
м
λ
2
= 10
–13
м
1) U
1
= ?
2) U
2
= ?
Эту тему рекомендуется научить по §§ 18–20 учебного пособия где m – масса покоя частицы, для электрона m = 9,11·10–31 кг.
Савельева И.В. "Курс общей физики", т.3. В релятивистском случае
1
Нередко для решения задач на гипотезу де Бройля требуется p= T (T + 2E 0 ) ,
c
выразить импульс частицы через ее кинетическую энергию (или hc
наоборот). При этом надо различать случаи классических и реля- λ= , (2)
тивистских частиц. T (T + 2 E 0 )
При решении задач на соотношения неопределенностей нужно где с = 3 108 м/с – скорость света, Е0 = mc2 – энергия покоя, для
учесть, что если в задаче стоит вопрос об оценке наименьшей электрона Е0 = 0,51 МэВ.
ошибки или неточности одной из величин, входящих в эти соот- Чтобы решить вопрос, какую формулу, классическую или ре-
ношения, то фактически нужно найти неопределенность этой ве- лятивистскую, использовать в решении определим порядок дли-
личины, т.к. имеется в виду неточность в измерениях, связанная ны волны де Бройля электрона для релятивистского случая
не с несовершенством экспериментальной техники, а с объектив- h 6,63·10 −34
ными свойствами исследуемой системы. λ рел ≅ = −31 8
= 2,42·10 −12 (м) .
mc 9,11·10 ·3·10
Для классического случая должно быть λ >> λрел, иначе случай
Пример 26. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен
релятивистский.
пройти электрон, чтобы его длина волны де Бройля λ была равна
Для λ1 = 10–10 м условие λ1 >> λрел выполняется, поэтому в
1) λ1 = 0,1 нм, 2) λ2 = 0,1 пм? первом случае можно использовать классическую формулу (1).
Дано: Решение:
–10 Для λ2 = 10–13 м условие λ1 >> λрел не выполняется, поэтому во
λ1 = 10 м Длина волны де Бройля выражается формулой
втором случае нужно использовать релятивистскую формулу (2).
–13
λ2 = 10 м h Определим кинетическую энергию электрона. Если поле уско-
λ= ,
1) U1 = ? p ряющее то работа, совершаемая полем по перемещению электро-
2) U2 = ? где h – постоянная Планка, p – импульс частицы. на, идет на увеличение кинетической энергии электрона, т.е.
Импульс электрона можно выразить через кинетическую энер- А = ΔТ = Т2 – Т1.
гию электронов. Связь импульса с кинетической энергией раз- Будем считать, что начальной кинетической энергией электро-
лична для классического случая (когда кинетическая энергия час- на можно пренебречь, тогда
тицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского Т = А.
случая (когда кинетическая энергия частицы сравнима с ее энер- Работа в электрического поля по перемещению заряда:
гией покоя). А = qU,
57 58
В классическом случае где q – заряд частицы, U – пройденная частицей ускоряющая раз-
p = 2mT , ность потенциалов. Следовательно
h Т = qU.
λ= , (1) Подставим полученное значение кинетической энергии в фор-
2mT мулы (1) и (2) и определим из этих формул U1 и U2.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
