ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пример 1. Полная энергия тела, совершающего гармоническое
колебательное движение, равна 19,7мкДж, максимальная сила,
действующая на тело, равна 0,8 мН. Написать уравнение движе-
ния тела, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза 60°.
Решение:
Уравнение гармонического колебания:
x = Acos(ωt + α),
где A – амплитуда колебаний, ϕ = ωt + ϕ
0
– фаза, ϕ
0
– начальная
фаза, ω – циклическая частота.
Для определения амплитуды A учтем, что скорость v и уско-
рение колеблющегося тела равны:
)tsin(A
d
t
dx
v
0
ϕ+ωω−== ,
)tcos(A
d
t
dv
a
0
2
ϕ+ωω−== .
Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело
равна:
F = ma = - mω
2
Acos(ωt + ϕ
0
).
Учтем, что F = F
max
, если cos(ωt + ϕ
0
) = ±1, поэтому макси-
мальное значение силы F
max
= mω
2
A.
Полная энергия колеблющегося тела равна сумме кинетиче-
ской
2
mv
W
2
k
= и потенциальной
2
kx
W
2
p
= энергий:
W = W
k
+ W
p
=W
k max
= W
p max
,
следовательно:
2
Am
2
mv
WW
22
max
2
maxk
ω
=== ,
т.к. v
max
= ωA.
Учтя выражение для F
max
, имеем:
2
AF
W
max
= ,
8
откуда:
max
F
W2
A = .
Циклическая частота:
T
2
π
=ω .
Проверка размерности:
[]
м
Н
Дж
A == ,
[]
с
рад
=ω .
Вычисляя, получим: A = 0,05 м, ω = π рад/с.
Искомое уравнение гармонического колебания:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+π=
3
t·cos05,0x м.
Ответ:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+π=
3
t·cos05,0x м.
Пример 2. Уравнение изменения силы тока в колебательном кон-
туре со временем дается в виде i(t) = – 0,02·sin(400πt) A. Индук-
тивность контура 1 Гн. Найти: 1) период колебаний; 2) емкость
контура; 3) максимальное напряжение на конденсаторе; 4) мак-
симальную энергию магнитного поля катушки индуктивности;
5) максимальную энергию электрического поля конденсатора.
Решение:
Из уравнения колебаний силы тока:
i(t) = - 0,02·sin(400πt)
следует,
что максимальное (амплитудное) значение силы тока:
I
m
= 0,02 A,
частота колебаний:
ω = 400 π рад/с.
9
1) Период колебаний
)c(10·5
400
22
T
3−
=
π
π
=
ω
π
= .
Дано:
W = 19,7·10
–6
Дж
F
max
= 0,8·10
–3
Н
Т = 2 с
ϕ
0
= π/3
x(t) = ?
Дано:
i(t) = – 0,02·sin(400πt) A
L = 1 Гн
1) T = ?, 2) C = ?,
3) U
m
= ?,
4) W
Lmax
= ?, 5) W
Cmax
= ?
Пример 1. Полная энергия тела, совершающего гармоническое 8
колебательное движение, равна 19,7мкДж, максимальная сила, откуда:
действующая на тело, равна 0,8 мН. Написать уравнение движе- 2W
A= .
ния тела, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза 60°. Fmax
Решение: Дано: Циклическая частота:
Уравнение гармонического колебания: W = 19,7·10–6 Дж 2π
x = Acos(ωt + α), Fmax = 0,8·10–3 Н ω= .
T
где A – амплитуда колебаний, ϕ = ωt + ϕ0 – фаза, ϕ0 – начальная Т=2с
Проверка размерности:
фаза, ω – циклическая частота. ϕ0 = π/3
Для определения амплитуды A учтем, что скорость v и уско- x(t) = ? [A] = Дж = м , [ω] = рад .
рение колеблющегося тела равны: Н с
dx Вычисляя, получим: A = 0,05 м, ω = π рад/с.
v= = −ωA sin(ωt + ϕ 0 ) , Искомое уравнение гармонического колебания:
dt
dv ⎛ π⎞
a= = −ω2 A cos(ωt + ϕ 0 ) . x = 0,05·cos⎜ πt + ⎟ м.
dt ⎝ 3⎠
Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело ⎛ π⎞
Ответ: x = 0,05·cos⎜ πt + ⎟ м.
равна: ⎝ 3⎠
F = ma = - mω2Acos(ωt + ϕ0).
Учтем, что F = Fmax, если cos(ωt + ϕ0) = ±1, поэтому макси- Пример 2. Уравнение изменения силы тока в колебательном кон-
мальное значение силы Fmax = mω2A. туре со временем дается в виде i(t) = – 0,02·sin(400πt) A. Индук-
Полная энергия колеблющегося тела равна сумме кинетиче- тивность контура 1 Гн. Найти: 1) период колебаний; 2) емкость
mv 2 контура; 3) максимальное напряжение на конденсаторе; 4) мак-
ской Wk = и потенциальной симальную энергию магнитного поля катушки индуктивности;
2
Дано: 5) максимальную энергию электрического поля конденсатора.
kx 2
i(t) = – 0,02·sin(400πt) A W p = энергий: Решение:
2 Из уравнения колебаний силы тока:
L = 1 Гн
W = Wk + Wp =Wk max = Wp max, i(t) = - 0,02·sin(400πt)
1) T = ?, 2) C = ?, следовательно:
3) Um = ?, следует, что максимальное (амплитудное) значение силы тока:
4) WLmax = ?, 5) WCmax = ? mv 2 max mω2 A 2 Im = 0,02 A,
W = Wk max = = ,
2 2 частота колебаний:
т.к. vmax = ωA. ω = 400 π рад/с.
Учтя выражение для Fmax, имеем:
F A 9
W = max , 2π 2π
2 1) Период колебаний T = = = 5·10 −3 (c) .
ω 400π
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
