Физика. Методические указания. Агапова Н.Н - 8 стр.

  Получим уравнение затухающих колебаний силы тока. Для                                     Уравнение изменения полной энергии контура:
простоты положим начальную фазу равной нулю (ϕ0 = 0).                                                                  ⎛    β                ⎞
                             q( t ) = q 0 e −βt cos(ωt ) ,                                              W = W0 e −2βt ⎜⎜1 +   sin( 2ωt + α) ⎟⎟ .
                                                                                                                       ⎝ ω0                  ⎠
        = (q 0 e −βt cos(ωt )) = q 0 (− β e −βt cos(ωt ) − ωe −βt sin (ωt )) =
      dq d                                                                                  Если коэффициент затухания мал по сравнению с собственной
   i=
      dt dt                                                                                                β
                                                                                         частотой контура    << 1 , то запасенная в контуре энергия убы-
                           ⎛        β                         ω                  ⎞                        ω0
    = − ω2 + β 2 q 0 e −βt ⎜                cos(ωt ) +                  sin (ωt )⎟ =
                           ⎜ ω2 + β 2                      ω2 + β 2              ⎟       вает во времени по закону W = W0 e −2βt ( при выполнении кон-
                           ⎝                                                     ⎠
                                                                                         трольной работы эту формулу можно брать за исходную ).
                                  ⎛ β                ω              ⎞
              = −ω0 q 0 e −βt ⎜⎜       cos(ωt ) +         sin (ωt )⎟⎟ .                     Найдем коэффициент затухания β, предполагая что ω0 >> β.
                                  ⎝ ω0              ω0              ⎠                       Добротность контура при малом затухании:
                     β            ω         β                                                                           π
   Пусть sin α =        , cos α =    , tgα = , тогда:                                                                Q= ,
                     ω0           ω0        ω                                                                           δ
  i = −ω0 q 0 e −βt (sin α·cos(ωt ) + cos α·sin (ωt )) = −ω0 q 0 e −βt sin (ωt + α ) .   где δ = βT - логарифмический декремент затухания, T - период
                                                                                             затухающих колебаний.
    Уравнение затухающих колебаний силы тока:
                                                                                                          2π      2π      2π     2π    1
                             i = −ω0 q 0 e −βt sin (ωt + α ) .                                        T=     =          ≈     =      =   ,
                                                                                                           ω    ω − β 2 ω0 2πν 0 ν 0
                                                                                                                  2
    Энергия, запасенная в конденсаторе:                                                                                0

                  q2      q2                       1                                     где ω0 = 2πν0 – связь циклической и линейной частот.
        WC =           = 0 e −2βt cos 2 (ωt ) = W0 e −2βt (1 + cos(2ωt )) .                 Добротность:
                  2C 2C                            2
    Энергия, запасенная в катушке индуктивности:                                                                         π π πν 0
                                                                                                                     Q= =        =       ,
        Li 2 Lω02 q 02 −2βt                         1                                                                    δ βT        β
  WL =         =           e sin 2 (ωt + α) = W0 e −2βt (1 − cos(2ωt + 2α)) ,               Коэффициент затухания:
          2           2                             2
                                                                                                                    πν     3,14·8·10 3
     Lω0 q 0 Lq 0 q 0
        2 2            2     2
                                                                                                                 β= 0 =                = 349 .
где            =         =      = W0 ,                                                                               Q         72
        2         2LC 2C
                                                      1                                     Проверим выполняется ли условие ω0 >> β:
т.к. собственная частота контура ω0 =                     .                                          β        β       πν 0     1       1
                                                      LC                                                =          =         =     =       = 0,007 << 1 .
    Полная энергия контура:                                                                         ω0 2πν 0 2πν 0 Q 2Q 144
                                       ⎛ cos(2ωt ) − cos(2ωt + 2α) ⎞                        Условие ω0 >> β выполняется.
       W = WC + WL = W0 e −2βt ⎜1 +                                         ⎟=              Подставим числа в выражение для энергии:
                                       ⎝                     2              ⎠
                                                                                                      W = 50·10 −6 ·e −700t (Дж) = 50·e −700t (мкДж) .
                         = W0 e (1 + sin α·sin(2ωt + α) ) .
                                −2βt

                                                                                         Ответ: W = 50·e −0, 7 t мкДж .
                                          12
                                                                                                                              13