Физика. Методические указания. Агапова Н.Н - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУТИ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4. Электрическая цепь состоит из активного сопротив-
ления R, конденсатора емкостью C и катушки индуктивности L,
соединенных последовательно с генератором переменного на-
пряжения. ЭДС генератора изменяется по закону е = Е
m
·cos(ωt).
Найти зависимость от времени силы тока i(t), напряжения на ак-
тивном сопротивлении u
R
(t), напряжения на конденсаторе u
C
(t) и
напряжения на катушке u
L
(t).
Решение:
Пусть заряд конденсатора меняется по закону:
)tcos(qq
m
ϕ
−ω
=
,
где q
m
– амплитуда заряда, ω – частота ЭДС, φ – разность фаз ме-
жду ЭДС и зарядом.
Сила тока:
()
ψ−ω=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+ϕ−ω=ϕ−ωω−== tcosI
2
tcosI)tsin(q
dt
dq
i
mmm
,
где
mm
qI ω=
– амплитуда тока,
2
π
−ϕ=ψ – разность фаз между ЭДС и током.
Напряжение на активном сопротивлении:
()
(
)
ψ
−
ω
=
ψ
−ω
=
= tcosUtcosRIi·Ru
RmmR
,
где
mRm
RIU = – амплитуда напряжения на активном сопротив-
лении.
Колебания тока и напряжения на активном сопротивлении
происходят в одинаковой фазе.
Напряжение на конденсаторе:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−ψ−ω=ϕ−ω==
2
tcosU)tcos(
C
q
C
q
u
Cm
m
C
,
где
mCm
m
Cm
IXq·
C
1
C
q
U =ω
ω
== –амплитуда напряжения на кон-
денсаторе,
C
1
X
C
ω
= – емкостное сопротивление,
2
π
+ψ=ϕ .
14
Колебания напряжения на емкостном сопротивлении отстают
по фазе на
2
π
от колебаний тока.
Напряжение на катушке индуктивности:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+ψ−ω=ψ−ωω−==
2
tcosU)tsin(LI
dt
di
Lu
LmmL
,
где
mLmLm
IXLIU
=
ω
=
–амплитуда
напряжения на катушке индуктив-
ности,
Колебания напряжения на индук-
тивном сопротивлении опережают
по фазе на
2
π
колебания тока.
Построим векторную диаграмму и найдем амплитуду тока
m
I
и разность фаз
ψ
между током и ЭДС.
LRC
uuue
+
+
=
2
CmLm
2
Rm
2
m
)UU(UE −+=
))XX(R(IE
2
CL
22
m
2
m
−+=
Амплитуда силы тока:
2
2
m
m
C
1
LR
E
I
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
−ω+
=
.
Разность фаз:
R
C
1
L
tg
ω
−ω
=ψ
.
Ответ:
(
)
ψ
−
ω
=
tcosIi
m
,
(
)
ψ
−
ω
=
tcosUu
RmR
, где
mRm
RIU
=
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−ψ−ω=
2
tcosUu
CmC
, где
C
I
U
m
Cm
ω
=
,
Дано:
R, C, L
е = Е
m
·cos(ωt)
i(t), u
R
(t), u
C
(t), u
L
(t) = ? 
Пример 4. Электрическая цепь состоит из активного сопротив-                      Колебания напряжения на емкостном сопротивлении отстают
ления R, конденсатора емкостью C и катушки индуктивности L,                                  π
соединенных последовательно с генератором переменного на-                     по фазе на от колебаний тока.
                                                                                             2
пряжения. ЭДС генератора изменяется по закону е = Еm·cos(ωt).                    Напряжение на катушке индуктивности:
Найти зависимость от времени силы тока i(t), напряжения на ак-                                  di                            ⎛           π⎞
тивном сопротивлении uR(t), напряжения на конденсаторе uC(t) и                         u L = L = −ωLIm sin(ωt − ψ) = U Lm cos⎜ ωt − ψ + ⎟ ,
напряжения на катушке uL(t).                                                                    dt                            ⎝           2⎠
                                 Решение:                                                                     где U Lm = ωLI m = X L I m –амплитуда
                                                                                            Дано:
   Пусть заряд конденсатора меняется по закону:                                R, C, L                       напряжения на катушке индуктив-
                            q = q m cos( ωt − ϕ ) ,                            е = Еm·cos(ωt)                ности,
где qm – амплитуда заряда, ω – частота ЭДС, φ – разность фаз ме-                                               Колебания напряжения на индук-
                                                                               i(t), uR(t), uC(t), uL(t) = ?
жду ЭДС и зарядом.                                                                                           тивном сопротивлении опережают
   Сила тока:                                                                                π
                                                                              по фазе на колебания тока.
       dq                                 ⎛           π⎞                                     2
   i=     = −ωq m sin( ωt − ϕ ) = I m cos⎜ ωt − ϕ + ⎟ = I m cos (ωt − ψ ) ,      Построим векторную диаграмму и найдем амплитуду тока I m
       dt                                 ⎝           2⎠
где I m = ωq m – амплитуда тока,                                              и разность фаз ψ между током и ЭДС.
              π                                                                           e = uC + uR + uL
     ψ = ϕ − – разность фаз между ЭДС и током.
              2                                                                    E 2m = U 2Rm + ( U Lm − U Cm ) 2
   Напряжение на активном сопротивлении:                                          E 2m = I 2m (R 2 + (X L − X C ) 2 )
             u R = R ·i = RI m cos (ωt − ψ ) = U Rm cos (ωt − ψ ) ,           Амплитуда силы тока:
где U Rm = RI m – амплитуда напряжения на активном сопротив-                                         Em
    лении.                                                                        Im =                              .
                                                                                                                2
   Колебания тока и напряжения на активном сопротивлении                                           ⎛        1 ⎞
                                                                                            R 2 + ⎜ ωL −      ⎟
происходят в одинаковой фазе.                                                                      ⎝       ωC ⎠
   Напряжение на конденсаторе:                                                Разность фаз:
                  q q                               ⎛           π⎞                                        1
           u C = = m cos( ωt − ϕ ) = U Cm cos⎜ ωt − ψ − ⎟ ,                                       ωL −
                 C C                                ⎝           2⎠                       tg ψ =          ωC .
           q        1                                                                                 R
где U Cm = m =         ·ωq m = X C I m –амплитуда напряжения на кон-          Ответ: i = I m cos(ωt − ψ ) ,
            C ωC
    денсаторе,                                                                        u R = U Rm cos(ωt − ψ ) , где U Rm = RI m ,
            1                                                 π                                        ⎛             π⎞           I
     XC =        – емкостное сопротивление, ϕ = ψ + .                                 u C = U Cm cos⎜ ωt − ψ − ⎟ , где U Cm = m ,
           ωC                                                2                                         ⎝             2⎠         ωC
                                      14

Страницы