Частные вопросы курса физики. Александров В.Н - 43 стр.

     а в векторной форме:
                                        
                                    M  I .                                             (2.10)
                                                     
     Вектор момента силы M , как и углового ускорения  , направлен вдоль
оси вращения. Соотношение (2.10) является II законом Ньютона для
вращательного движения.
     Момент инерции системы материальных точек относительно оси
вращения равен сумме произведений масс материальных точек системы на
квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
                                            n
                                    I   mi ri 2 .                                      (2.11)
                                           i 1

     В случае непрерывного распределения масс эта сумма переходит в
интеграл:
                                     I   r 2dm ,                                       (2.12)
где интегрирование ведется по всему объему тела. Величина r в этом случае
определяет расстояние элементарной массы dm до оси вращения.
      Рассчитаем момент инерции для нескольких твердых тел различной
геометрической формы:
      I. Момент инерции тонкого однородного стержня (длиной l и массой m )
относительно оси, проходящей через один из концов стержня, перпендикулярно
ему (см. рис. 2.4).

                    О           l            dx

                                x

                    О'
                                  Рис. 2.4
      Выберем элемент dx на расстоянии x от оси вращения. Масса dm элемента
dx равна
                                    dm  ( m / l )  dx ,
а его момент инерции (ввиду малости dx элемент можно считать материальной
точкой):
                                dI  ( m / l )  x 2 dx .
Чтобы найти I стержня, надо просуммировать все dI, т.е. взять интеграл:

                            
                         I  dI =         (m/l)  x 2 dx = (m/ 3l)  x 3 = m   2
                                                                                    / 3 . (2.13)
                                                                      0
                            0          0

     2. Момент инерции кольца или тонкостенного цилиндра массой m и
радиусом R (рис. 2.5), относительно их оси симметрии.
42