Частные вопросы курса физики. Александров В.Н - 44 стр.

         Масса элемента кольца длиной dl равна:
                                                                                                              dl
                                             dm  ( m / 2 R )  dl .                                R
         Момент инерции элемента:
                                                                                                 О
                                        dI  dm R  ( m / 2 )  R dl .
                                                    2



         Момент инерции кольца:
       2 R          2 R                                     2 R
I0          dI      ( m / 2 ) R dl  ( m / 2 )  R l    0
                                                                      mR 2 . (2.14)           Рис. 2.5
        0             0

       Момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр
масс, обозначается I0.
       Именно так можно записать момент инерции велосипедного колеса в
лабораторной работе №3, так как обод велосипедного колеса специально утяжелен
так, что массой спиц можно пренебречь.
       3. Момент инерции сплошного цилиндра радиуса R, высотой h и массой
m (рис. 2.6) относительно оси цилиндра.
       Разобьем цилиндр на тонкие цилиндрические слои толщиной dr. Масса
каждого слоя:
         mh                              m                                         m            2m
dm           (( r  dr )2   r 2 )       (  r 2  2 r dr  dr 2   r 2 )       2 r dr  2 r dr
        R h
          2
                                        R 2
                                                                                  R 2
                                                                                                 R
                                                           2
                                                       (dr <<2πr dr, этим слагаемым мы
                                                       пренебрегли).           Момент        инерции
                                                       каждого слоя:
                                                              dI  dm  r 2  ( 2m/R 2 )r 3 dr .          Тогда
                                                              момент инерции цилиндра:
                            R                                             R                                    R
            dr       О                                               I 0   ( 2m/R 2 )r 3 dr  ( 2m/ 4R 2 )r 4 .
                                                                                                                   0
                                                                          0
                                        h
                                                              Откуда
                                                                      I0  mR 2 / 2 .                 (2.15)
                                            Примеры 2 и 3 относятся к
                 Рис. 2.6             случаям,    когда    ось    вращения
                                      проходит через центр масс тел.
     Однако, если известен момент инерции тела относительно оси,
проходящей через центр масс, то момент инерции его относительно другой
параллельной оси можно найти, используя теорему Штейнера. Она гласит:
момент инерции I относительно любой оси вращения равен моменту его
инерции Io относительно параллельной оси, проходящей через центр масс,
сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями a:
                                                   I  I 0  ma 2 .                                   (2.16)

                                                                                                         43