Частные вопросы курса физики. Александров В.Н - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МПГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

62
t
1
=
3/1
(с) (в пределах одного периода
колебания).
Величину скорости точки υ
1
в момент t
1
= 1/3 c найдем, подставив
t
1
= 1/3 c в выражение для скорости υ = dx/dt = -ω x
max
sin (ωt + θ
0
). Тогда
υ
1
= - 5· 10
-2
π sin
3/
= - 0,136 (
cм /
).
Найдем ускорение материальной точки а:
а = –x
max
ω
2
cos (ωt + θ
0
) = –ω
2
x. (2)
При гармоническом колебании ускорение точки находится в противофазе
со смещением x (опережает смещение x на π).
Ускорение а
1
точки в тот момент времени, когда еѐ смещение x
1
= 25 мм,
будет равно, согласно (2):
а
1
= –ω
2
x
1
= –π
2
· 2,5 · 10
-2
= - 0,247
2
м/с
.
Задача 3.2. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x =
2 cos ωt (м) и y = 2 sin ωt (м). Найти траекторию результирующего
движения точки.
Анализ и решение
Траектория движения точки, участвующей одновременно в двух взаимно
перпендикулярных гармонических колебаниях по оси X и оси Y с одинаковыми
частотами, в общем случае (т.е. с разными начальными фазами) будет
представлять собой эллипс, главные оси которого не совпадают с осями X и Y.
Запишем уравнение гармонического колебания, совершаемого точкой
вдоль оси X и Y:
x = x
max
cos ωt , (1)
y = y
max
cos (ωt + θ). (2)
Для того чтобы получить уравнение траектории движения точки, т.е.
зависимость y (x), надо из уравнения (2) исключить параметр t.
Для этого напишем:
max
x
x
= cos ωt , (3)
max
y
y
= cos ωt cos θ – sin ωt sin θ. (4)
Умножим уравнение в (3) на cos θ и вычтем из него (4). Получим:
max
x
x
cos θ –
max
y
y
= sin ωt sin θ. (5)
Теперь умножим уравнение (3) на sin θ: 
                                   t1 = 1 / 3 (с) (в         пределах   одного   периода
колебания).
       Величину скорости точки υ1 в момент t1 = 1/3 c найдем, подставив
t1 = 1/3 c в выражение для скорости υ = dx/dt = -ω xmax sin (ωt + θ0). Тогда
                           υ1 = - 5· 10-2 π sin  / 3 = - 0,136 ( м / c ).
     Найдем ускорение материальной точки а:
                           а = –xmax ω2 cos (ωt + θ0) = –ω2x.                    (2)
      При гармоническом колебании ускорение точки находится в противофазе
со смещением x (опережает смещение x на π).
      Ускорение а1 точки в тот момент времени, когда еѐ смещение x1 = 25 мм,
будет равно, согласно (2):
                      а1 = –ω2 x1 = –π2 · 2,5 · 10-2 = - 0,247 м/с 2 .

Задача 3.2. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x =
            2 cos ωt (м) и y = 2 sin ωt (м). Найти траекторию результирующего
            движения точки.
                               Анализ и решение
     Траектория движения точки, участвующей одновременно в двух взаимно
перпендикулярных гармонических колебаниях по оси X и оси Y с одинаковыми
частотами, в общем случае (т.е. с разными начальными фазами) будет
представлять собой эллипс, главные оси которого не совпадают с осями X и Y.
    Запишем уравнение гармонического колебания, совершаемого точкой
вдоль оси X и Y:
                                   x = xmax cos ωt ,                             (1)
                                   y = ymax cos (ωt + θ).                        (2)
     Для того чтобы получить уравнение траектории движения точки, т.е.
зависимость y (x), надо из уравнения (2) исключить параметр t.
                                              x
     Для этого напишем:                             = cos ωt ,                   (3)
                                            x max
                               y
                                      = cos ωt cos θ – sin ωt sin θ.             (4)
                              y max
Умножим уравнение в (3) на cos θ и вычтем из него (4). Получим:
                     x                    y
                            cos θ –               = sin ωt sin θ.                (5)
                   x max                 y max
Теперь умножим уравнение (3) на sin θ:



62

Страницы