Элементы теории множеств и математической логики. Александрова Р.А - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

61
4) (∃x∈N)(Q(x)); 8) (∃x∈N)( Qx()).
Укажите среди этих высказываний истинные.
Задание 3. Введите обозначение предикатов и запишите при помощи кван-
торов следующие высказывания:
1) существует действительное число х такое, что х
2
=1;
2) любое натуральное число делится на 3;
3) найдите действительное число х такое, что для каждого действительного
числа а имеет место равенство ах=а;
4) не существует рационального числа х такого, что х
2
=2;
5) любое натуральное число нечетно.
Задание 4. Пусть Х - множество четырехугольников и заданы предикаты:
А(х): х - параллелограмм;
В(х): х - равнобочная трапеция;
С(х): х - ромб;
D(х): х имеет ось симметрии;
Е(х): х- имеет центр симметрии.
Сформулируйте следующие высказывания и определите их значения истин-
ности:
1) (∀x)(А(x) ⇒Е(x)); 5) (∀x)(
Ex()
⇒А(x));
2) (∃x)(
Dx()⇒Е(x)) 6) (∀x)(С(x) ⇒А(x));
3) (∀x)(D(x) ⇒С(x)); 7) (∀x)(
Cx()⇒ Ax());
4) (∃x)(В(x) ⇒
Dx()); 8) (∃x)(С(x) ⇒А(x)).
Указание. Высказывание (∀х)(А(х)) ложно, если есть хотя бы одно а∈Х, для
которого А(а)=0; высказывание (∃х)(А(х)) истинно, если есть хотя бы одно а∈Х,
для которого А(а)=1.
Задание 5. Даны предикаты:
А(n): число n делится на 3;
B(n): число n делится на 2;
C(n): число n делится на 4;
D(n): число n делится на 6;
E(n): число n делится на 12.
Укажите, какие из следующих высказываний истинны, какие ложны:
1) (∀n)((A(n)∧B(n))⇒E(n));
2) (∀n)((B(n)∧D(n))⇒E(n));
3) (∃n)((C(n)∧D(n))⇒E(n));
4) (∀n)(E(n) ⇒(C(n)∧D(n)));
5)
()
()
()
∀⇒∧nEn Bn Dn() () () ;
6)
()
()
()
∃∧⇒nBn Cn Dn() () ();
7)
()
()
∀⇒nAn En() ().
Задание 6. Пусть х, у ∈ R; какие из следующих высказываний истинны:
1) x+y=y+x; 
    4) (∃x∈N)(Q(x));                        8) (∃x∈N)( Q( x ) ).
    Укажите среди этих высказываний истинные.
    Задание 3. Введите обозначение предикатов и запишите при помощи кван-
торов следующие высказывания:
    1) существует действительное число х такое, что х2=1;
    2) любое натуральное число делится на 3;
    3) найдите действительное число х такое, что для каждого действительного
числа а имеет место равенство ах=а;
    4) не существует рационального числа х такого, что х2=2;
    5) любое натуральное число нечетно.
    Задание 4. Пусть Х - множество четырехугольников и заданы предикаты:
    А(х): х - параллелограмм;
    В(х): х - равнобочная трапеция;
    С(х): х - ромб;
    D(х): х имеет ось симметрии;
    Е(х): х- имеет центр симметрии.
    Сформулируйте следующие высказывания и определите их значения истин-
ности:
    1) (∀x)(А(x) ⇒Е(x));                    5) (∀x)( E( x ) ⇒А(x));
    2) (∃x)( D( x ) ⇒Е(x))                  6) (∀x)(С(x) ⇒А(x));
    3) (∀x)(D(x) ⇒С(x));                    7) (∀x)( C( x ) ⇒ A( x ) );
    4) (∃x)(В(x) ⇒ D( x ) );                8) (∃x)(С(x) ⇒А(x)).
    Указание. Высказывание (∀х)(А(х)) ложно, если есть хотя бы одно а∈Х, для
которого А(а)=0; высказывание (∃х)(А(х)) истинно, если есть хотя бы одно а∈Х,
для которого А(а)=1.
    Задание 5. Даны предикаты:
    А(n): число n делится на 3;
    B(n): число n делится на 2;
    C(n): число n делится на 4;
    D(n): число n делится на 6;
    E(n): число n делится на 12.
    Укажите, какие из следующих высказываний истинны, какие ложны:
    1) (∀n)((A(n)∧B(n))⇒E(n));
    2) (∀n)((B(n)∧D(n))⇒E(n));
    3) (∃n)((C(n)∧D(n))⇒E(n));
    4) (∀n)(E(n) ⇒(C(n)∧D(n)));
    5) ( ∀n )( E( n ) ⇒ ( B( n ) ∧ D( n ))) ;
   6) ( ∃n )(( B( n ) ∧ C( n )) ⇒ D( n )) ;
   7) ( ∀n )( A( n ) ⇒ E( n )) .
   Задание 6. Пусть х, у ∈ R; какие из следующих высказываний истинны:
   1) x+y=y+x;

                                                                          61

Страницы