Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Александрова Е.Б - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

107
,,,,
2
2
1
1
YTY
y
x
Y
y
x
XXTX
′
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
=
′′
=
(5.8)
()
11
; yx
′′
— координаты точки
(
)
11
; yx в системе
(
)
,0 yx
′
′
а
()
22
; yx
′
′
—
координаты точки
()
22
; yx в системе
(
)
.0 yx
′
′
Подставим форму-
лы(5.8) в (5.7):
.XATYT
′
=
′
Отсюда, умножая обе части равенства
на
1−
T
слева, получим
.
1
XATTY
′
=
′
−
(5.9)
Из равенства (5.9) видим, что матрица линейного преобра-
зования (5.6) или (5.7) (обозначим ее
A
′
) в новой системе коор-
динат
)0( yx
′′
принимает вид:
.
1
ATTA
−
=
′
(5.10)
Матрицы
A и A
′
называются подобными.
Пример 5.5. Найти матрицу линейного преобразования
⎩
⎨
⎧
−=
+=
,2
112
112
yxy
yxx
заданного в системе координат
(
)
yx 0 , в новой систе-
ме
()
,0 yx
′′
определяемой единичными векторами
.
5
1
5
2
;
5
2
5
1
jijjii −=
′
+=
′
Решение. Матрица линейного преобразования
,
12
11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=A
матрица перехода от системы
(
)
yx 0 к
(
)
yx
′
′
0
: .
12
21
5
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=T
Тогда
матрица линейного преобразования в новой системе координат
по формуле (5.10) имеет вид:
.
36
113
5
1
12
21
30
15
5
1
12
21
5
1
12
11
12
21
5
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−==
′
−
ATTA
Задания для самостоятельной работы
1. Найти матрицу линейного преобразования
,
3
2
112
112
⎩
⎨
⎧
+=
−−=
yxy
yxx
заданного в системе координат
(
)
yx 0 , в системе
()
yx
′′
0
, опреде-
ляемой единичными перпендикулярными векторами:
.
10
1
10
3
;
10
3
10
1
jijjii −=
′
+=
′

Страницы