Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Александрова Е.Б - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

109
.1
1
1
1
1
1
1
1
32
23
,5
1
1
5
5
5
1
1
32
23
2211
XAXXAX ⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
Теорема 5.1. Число
λ
является собственным значением
матрицы
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2221
1211
αα
αα
A тогда и только тогда, когда выполняется
равенство
()
()
.0
2221
1211
=
−
−
λαα
αλα
(5.11)
Действительно, по определению число
λ
— собственное
значение матрицы
,A если существует такой ненулевой вектор
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
y
x
X
, что
,00
=
−
<
=>
=
−
<=>= EXAXXAXXAX
λ
λ
λ
где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
10
01
E
единичная матрица. Отсюда следует, что
λ
— соб-
ственное значение тогда и только тогда, когда существует нену-
левой вектор
,X являющийся решением матричного уравнения
()
.0=− XEA
λ
(5.12)
Матричное уравнение (5.12) равносильно однородной сис-
теме линейных уравнений:
()
()
⎩
⎨
⎧
=−+
=+−
.0
0
2221
1211
yx
yx
λαα
αλα
(5.13)
Система (5.13) имеет ненулевые решения тогда и только то-
гда, когда ее определитель равен нулю:
()
()
.0
2221
1211
=
−
−
λαα
αλα
Теорема доказана.

Страницы