Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Александрова Е.Б - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

111
деляемой собственными единичными перпендикулярными век-
торами
.,
0
2
0
1
XX
Замечания. 1. Вектор столбец
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2
1
x
x
X
и вектор строка
{}
21
; xxX
есть различные обозначения одного и того же вектора на плоско-
сти.
2. Несмотря на то, что для любой матрицы
T
, столбцы кото-
рой есть координаты собственных векторов, выполняется равен-
ство
,
0
0
2
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
λ
λ
ATT
матрицей перехода от прямоугольной сис-
темы координат
()
yx 0 к прямоугольной системе координат
()
,0yx
′′
определяемой собственными векторами, является лишь та
матрица, столбцы которой — координаты единичных собствен-
ных векторов.
Матрица
A определяет линейное преобразование (5.6; 5.7) и
при переходе от системы
(
)
yx 0 к системе
(
)
yx
′
′
0 , определяемой
собственными векторами, матрица линейного преобразования
будет иметь вид
,
1
ATTA
−
=
′
а по формуле (5.14) эта матрица будет
диагональной:
.
0
0
2
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
′
−
λ
λ
ATTA
(5.15)
Пример 5.6. Найти собственные числа и собственные векто-
ры матрицы
.
103
32
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=A
Преобразовать матрицу A к диаго-
нальному виду.
Решение. Составляем характеристическое уравнение мат-
рицы
A
и решаем его:
(
)
()
0
103
32
=
−
−
λ
λ
09)10)(2(
=
−−−
⇔
λ
λ
01112
2
=+−⇔
λλ
. Получаем собственное значения матрицы
.11,1
21
==
λ
λ
Для каждого собственного значения находим собст-
венный вектор.
При
1
1
=
λ
собственные векторы являются решениями одно-
родной системы:
,303
093
03
2121
21
21
xxxx
xx
xx
−=<=>=+<=>
⎩
⎨
⎧
=+
=+
2
x
—

Страницы