Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Александрова Е.Б - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

112
свободная переменная, полагая ,1
2
=
x получим ;3
1
−=x таким об-
разом собственный вектор
.
1
3
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=X
При
11
2
=
λ
собственные векторы — решения системы:
,303
03
039
1221
21
21
xxxx
xx
xx
=<=>=−<=>
⎩
⎨
⎧
=−
=+−
полагая ,1
1
=x получим
3
2
=x
и собственный вектор .
3
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=X
Преобразующая матрица имеет вид
.
31
13
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=T
.
110
01
31
13
103
32
31
13
10
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−=
−
ATT
Единичные собственные векторы данной матрицы:
,
10
1
10
3
0
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=X
,
10
3
10
1
0
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=X
преобразующая матрица ,
10
1
31
13
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=T
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
110
01
0
1
0
ATT и матрица
0
T осуществляет переход от системы
координат
()
yx 0 к системе
(
)
yx
′
′
0 , определяемой единичными
векторами
.,
0
2
0
1
XX
Задания для самостоятельной работы
1. Найти собственные числа и собственные векторы квад-
ратной матрицы
A
и преобразовать ее к диагональному виду:
а) ;
53
35
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=A
б) ;
17
749
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=A
в) .
56
60
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=A
Ответы: а) Собственные числа
;8,2
21
=
=
λ
λ
собственные
векторы (один из наборов)
,
1
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=X
,
1
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=X
соответственно
единичные собственные векторы
,
2
1
2
1
0
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=X
.
2
1
2
1
0
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=X
Преобра-
зующая матрица (соответственно для первого и второго набора

Страницы