Составители:
Рубрика:
114
§ 5. Приведение общего уравнения кривой
второго порядка к каноническому виду
Рассмотрим квадратичную форму с двумя переменными
.2),(
2
2212
2
11
yaxyaxayxf ++=
Матрицей данной квадратичной формы называют симмет-
рическую матрицу, составленную из коэффициентов формы
()
yxf
следующим образом
.
2212
1211
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
aa
aa
A
Данная матрица определяет линейное преобразование (5.2)
плоскости.
Если перейти от системы координат
)0( y
x
, в которой форма
()
yxf задана, к системе
)0( yx
′
′
, определяемой перпендикулярны-
ми собственными единичными векторами, то матрица данного
линейного преобразования будет равна матрице
0
1
0
ATT
−
, которая
ввиду равенства (5.15) есть диагональная матрица
.
0
0
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
′
λ
λ
A
Этой матрице в системе координат
)0( yx
′
′
соответствует квадра-
тичная форма:
()
2
2
2
1
xxyxf
′
+
′
=
′′′
λλ
. Таким образом, при переходе от
системы координат
(x0y) к системе
)0( yx
′
′
, определяемой единич-
ными ортогональными собственными векторами с соответст-
вующими собственными значениями
21
,
λ
λ
, выражение
2
2212
2
11
2 yaxyaxa ++ преобразуется в выражение
2
2
2
1
xx
′
+
′
λλ
. В этом
случае говорят, что квадратичная форма приведена к канониче-
скому виду.
Пример 5.7. Привести к каноническому виду следующие
уравнения кривых второго порядка:
а)
6542
22
=+− yxyx
б)
0207122
22
=+−+ yxyx
в)
02246464251425
22
=−−++− yxyxyx
г)
0291462
22
=+−++− yxyxyx .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- …
- следующая ›
- последняя »
