Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Александрова Е.Б - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

115
Решение: а) составляем матрицу квадратичной формы,
стоящей в левой части уравнения
.
52
22
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
A
Составляем для
матрицы А характеристическое уравнение и решаем его:
()
()
.6,10670
52
22
21
2
==<=>=+−<=>=
−−
−−
λλλλ
λ
λ
Находим собственные векторы. Для
1
1
=
λ
получаем систему
⎩
⎨
⎧
=+−
=−
042
02
21
21
xx
xx
02
21
=
−
<
=> xx
один из собственных векторов, соответствующих собственному
значению
,1
1
=
λ
{}
,1;2
1
e
нормируем его
.
5
1
;
5
2
1
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
e
Для
6
1
=
λ
получаем
систему
⎩
⎨
⎧
=−−
=−−
02
024
21
21
xx
xx
,02
21
=
−
−<=> xx
собственный вектор
{}
,2;1
2
−e
нормированный
.
5
2
;
5
1
2
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
′
e
Преобразующаяся матрица имеет
вид
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
5
2
5
1
5
1
5
2
0
T
. Формулы преобразования получаем по форму-
ле (5.5)
:
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
y
x
T
y
x
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
′
+
′
=
′
−
′
=
yxy
yxx
5
2
5
1
5
1
5
2
Уравнение линии в новой системе координат, определяе-
мой векторами
21
, ee
′′
имеет вид:
1
16
66
22
22
=
′
+
′
<=>=
′
+
′
yx
yx
(эл-
липс, рис. 5.3).

Страницы