Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Александрова Е.Б - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

110
Определение 5.2. Уравнение (5.11) называют характеристи-
ческим уравнением матрицы
.A
Из доказанной теоремы следует, что собственные числа
матрицы
A являются корнями характеристического уравнения
(5.11). Для нахождения собственных чисел надо раскрыть опре-
делитель стоящий в левой части равенства (5.11), получим квад-
ратное уравнение относительно
λ
, его корни — собственные
числа
.A
Для нахождения собственных векторов составляем одно-
родную систему (5.13) для каждого из двух (или одного, если
корни характеристического уравнения равны) собственных чи-
сел. Ее решения – собственные векторы. Каждому собственному
числу будет соответствовать бесконечное множество собствен-
ных векторов, но все они между собой имеют пропорциональ-
ные координаты. Матрица размера
22
×
может иметь не более
двух собственных векторов с непропорциональными координа-
тами. Если матрица
A
имеет два собственных вектора с непро-
порциональными координатами:
,,,
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
y
y
x
x
y
x
X
y
x
X
≠
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
соответствующих собственным значениям
,,
21
λ
λ
то матрица
A
будет подобна диагональной матрице
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
1
0
0
λ
λ
и выполняется ра-
венство:
,
0
0
2
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
λ
λ
ATT
где
,
21
21
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
yy
xx
T
(5.14)
причем столбцы матрицы
T
есть собственные векторы, соответ-
ствующие собственным значениям
21
,
λ
λ
:
;
111
XAX
λ
=
.
222
XAX
λ
=
Среди матриц выделяются матрицы, которые называются
симметрическими:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2221
1211
aa
aa
A
— симметрическая, если .
2112
aa
=
Любая симметрическая матрица имеет два ортогональных
(перпендикулярных) собственных вектора
0
2
0
1
, XX единичной
длины (орты). Тогда матрица
T
(см. 5.5) будет матрицей пере-
хода от прямоугольной системы координат
(
)
,0yx определяемой
векторами
ji ,
к прямоугольной системе координат
()
,0yx
′′
опре-

Страницы