Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Александрова Е.Б - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

23
обратной матрицы
Пусть дана система
n
линейных уравнений с
n
неизвестны-
ми (см.(1.2)).
Обозначим
.,,
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nn
nnnn
n
n
b
b
b
B
x
x
x
X
aaa
aaa
aaa
A
MM
Учитывая правило умножения матриц, систему (1.2) запи-
шем в матричном виде:
BXA =⋅ . (1.4)
Решим уравнение (1.4). Если
0det
≠
A , то к матрице A суще-
ствует обратная матрица
1−
A . Умножим слева обе части уравнения
(1.4) на
1−
A . Получаем:
B
AA
X
A
11 −−
=
. Так как ,
1
XEXиEAA ==
−
то
B
A
X
1−
= .
Пример 1.17. Решить с помощью обратной матрицы систему
уравнений
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
−=+−
=++
,134
,222
,223
zyx
zyx
zyx
которая приведена в примере 1.16.
Решение. В данном примере
.
1
2
2
,,
134
212
123
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−= B
z
y
x
XA
Прежде всего найдем матрицу
1−
A . 15det
=
A (см. пример 1.16).
Вычислим алгебраические дополнения:
,10
34
12
,10
14
22
,5
13
21
131211
=
−
==
−
−=−=
−
−
= AAA

Страницы