Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Александрова Е.Б - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

75
Пример 3.7. Даны вершины четырехугольника ABCD:
()()( )
(
)
.7;3;4,5;4;4,1;8;0,3;4;1
−
−− DCBA Доказать, что диагонали
BDAC, перпендикулярны.
Решение. Найдем координаты векторов
BDAC,
:
{}
2;0;3−AC
и
{}
.6;11;4 −BD По формуле (3.6) получаем:
()
.06211043
=
⋅+−⋅+
⋅
−
=
⋅
BDAC
Согласно свойству 4 скалярного произведения имеем:
.BDAC ⊥
Пример 3.8. Даны точки
(
)
(
)
(
)
.0;3;2,2;4;3,1;4;2 CBA Вычислить
угол между векторами
.CBиCA
Решение. Найдем координаты векторов
CBCA,
.
{}
,.1;1;0CA
{}
.2;1;1CB Следовательно, .6,2,3211110 ===⋅+⋅+⋅=⋅ CBCACBCA
Из формулы (3.5) можно получить
()
.;cos
ba
ba
ba
⋅
=
Тогда
()
.
2
3
32
3
62
3
;cos ==
⋅
=CBCA А значит,
()
.
62
3
arccos;cos
π
==CBCA
Ответ:
.
6
π
Отметим возможность применения скалярного произведения
в физике: работа
A
постоянной силы F при прямолинейном пе-
ремещении
S ее точки приложения равна скалярному произведе-
нию вектора силы на вектор перемещения
.SFA
⋅
=
Пример 3.9. Найти работу силы kjiF
+
+
=
43 при прямолиней-
ном перемещении точки из положения
(
)
5;1;2
−
−
M в положение
()
.1;0;3 −B
Решение. Вектор перемещения равен
{
}
.6;1;5
−
MB Тогда
()
13611453
=
−⋅+⋅+
⋅
=⋅= MBFA
.
Ответ 13.
2. Векторное произведение векторов
Пусть даны два неколлинеарных вектора
a
и .b
Определение 3.4. Векторным произведением вектора
a на
вектор
b называется вектор
,c
удовлетворяющий условиям:

Страницы