Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Александрова Е.Б - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

77
Пример 3.11. Вычислить площадь треугольника с вершина-
ми
()( )( )
.1;3;1,0;1;2,1;1;1
−
−− CBA
Решение. Найдем координаты векторов
{}
,1;2;1: −−ABACиAB
{}
.2;2;2 −−AC
По теореме 3.2
.246
222
122 kji
kji
ACAB −+=
−−
−−=×
Тогда
()
.142246
2
22
=−++=× ACAB Следовательно, по определению
3.4 площадь параллелограмма, построенного на векторах
,ACиAB
равна
.142 Поскольку площадь треугольника равна половине
площади параллелограмма, то
14142
2
1
=⋅=
∆ABC
S кв. ед.
Ответ:
14 кв. ед.
3. Смешанное произведение трех векторов
Пусть даны три вектора
.,, cba Найдем векторное произведе-
ние .ba × Получим некоторый вектор. Умножим его скалярно на
вектор
,c
то есть найдем число
(
)
cba
×
. Это число называют сме-
шанным или векторно-скалярным произведением векторов
.,, cba
Обозначается смешанное произведение векторов
cba ,,
символом
.cba
Приведем некоторые свойства смешанного произведения
векторов.
1. Пусть векторы
cba ,, некомпланарны и имеют общее нача-
ло. Модуль смешанного произведения
cba
численно равен объему
параллелепипеда, построенного на векторах
cba ,,
как на ребрах.
2. Для того, чтобы три ненулевых вектора
cba ,, были ком-
планарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произ-
ведение равнялось нулю
.0
=
cba
3. При круговой перестановке векторов смешанное произве-
дение не меняется, то есть
;bacacbcba
=
=
при перестановке любых
двух сомножителей смешанное произведение изменит только
знак,
.acbcba −=

Страницы