Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Александрова Е.Б - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

85
Плоскости перпендикулярны, если
0
90=
ϕ
. Тогда ,0cos =
ϕ
то
есть
.0
212121
=
+
+
CCBBAA
(4.6)
Плоскости параллельны, если
.//
21
nn
Отсюда
.
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
==
(4.7)
Пример 4.6. Среди плоскостей ;05369;0523
=
−−+
=
+
−
+
zyxzyx
0942 =−+− zyx
указать параллельные и перпендикулярные.
Решение. Рассмотрим первые два уравнения. Имеем
.3,6,9;1,2,3
222111
−
=
=
=−=== CBACBA Для коэффициентов первых
двух уравнений справедливы соотношения:
.
3
1
2
1
2
1
2
1
===
C
C
B
B
A
A
Сле-
довательно, эти плоскости параллельны.
Сравним коэффициенты первого и третьего уравнений:
,
1
2
2
3
3
1
3
1
−
=≠=
B
B
A
A
то есть эти плоскости не параллельны. Так как
=++
313131
CCBBAA
()
(
)
,0411223
=
−
+−+⋅ то плоскости первая и третья,
вторая и третья перпендикулярны.
Пример 4.7. Составить уравнение плоскости:
а) параллельной оси
OZ и проходящей через точки
()
,3;1;2 −P
()
;1;2;4Q
б) проходящей через точку
(
)
,1;2;1
−
R параллельно вектору
{}
5;1;2 −a и перпендикулярной плоскости .01323 =
+
−
+
zyx
Решение. а) 1-й способ.
Уравнение искомой плоскости (проходящей через точку
()
3;1;2 −P ) имеет вид:
()
(
)
(
)
,0312
=
−
+
+
+
− zCyBxA где вектор
{}
CBAn ;;
перпендикулярен плоскости. Вектор
{
}
1;0;0k параллелен искомой
плоскости, а вектор
()
,2;3;2
−
PQ лежит в этой плоскости, поэтому
их векторное произведение
kPQ
×
, есть вектор, перпендикуляр-
ный плоскости. Таким образом,
,23
100
232, ji
kji
kPQn −=−=×= т.е. 0;2;3
=
−
=
=
CBA , и получаем
уравнение
()()
<
=>=+−− 01223 yx
.0823
=
−
−
yx

Страницы