Составители:
Рубрика:
96
Теорема 26. (о пределе сложной функции). Если определена сложная
функция
()()
xfF и существуют конечные
(
)
Axf
ax
=
→
lim и
()
ByF
Ay
=
→
lim , то суще-
ствует предел
()()
(
)
ByFxfF
Ayax
=
=
→→
limlim .
Примеры 34. Найти следующие пределы:
а)
4
10
lim
2
4
+
−
→
x
x
x
; б)
54
25
lim
2
2
5
−
−
−
→
x
x
x
x
; в)
xx
xx
x
232
23
lim
1
−
⋅
+
+
+∞→
;
г)
9
23
lim
2
3
−
+
→
x
x
x
; д)
(
)
13
sin1
lim
2
+
+
+
∞→
x
x
xx
x
; е)
()
x
x
x
1
2
410lim −
→
.
Решение а) По теоремам 19 и 25 имеем
(
)
()
1
6
6
4lim
10lim
4
10
lim
4
2
4
2
4
==
+
−
=
+
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
.
б) В числителе и знаменателе дроби
54
25
2
2
−
−
−
x
x
x
находятся функции бес-
конечно малые при
5→x , и под знаком предела при этих условиях получает-
ся неопределенность вида
0
0
. Раскроем ее, используя тождественные преоб-
разования и теорему 25:
(
)
(
)
()()
3
2
1
6
10
1
5
lim
15
55
lim
54
25
lim
55
2
2
5
==
+
+
=
+−
+−
=
−−
−
→→→
x
x
xx
xx
xx
x
xxx
.
в) Числитель дроби
x
x
xx
232
23
1
−
⋅
+
+
при
+
∞→
x
является бесконечно боль-
шой функцией, так как
+∞→+∞→
xx
2,3 и по теореме 20а о сумме двух бес-
конечно больших функций одного знака
∞→+
x
x 23
2
. В знаменателе также
находится бесконечно большая функция:
∞→
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−⋅=−⋅
+
x
xxxxx
3
2
63236232
1
;
она является произведением ограниченной и бесконечно большой функций
(см. теорему 20е). Получается неопределенность вида
∞
∞
. Раскроем ее, ис-
пользуя теорему 19 о пределах суммы, произведения и отношения двух
функций:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- …
- следующая ›
- последняя »
