Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

97
6
1
3
2
6
3
2
1
lim
3
2
63
3
2
13
lim
232
23
lim
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−⋅
+
+∞→+∞→
+
+∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
.
г)
()
∞=
−
⋅+=
−
+
→→
9
1
23lim
9
23
lim
2
3
2
3
x
x
x
x
xx
.
Действительно, функция
()
23
+
x ограничена в окрестности точки 3=x ; а
функция
9
2
−x
является бесконечно малой при 3→x , поэтому
9
1
2
−
x
есть бес-
конечно большая, а произведение ограниченной и бесконечно большой
функции есть бесконечно большая функция (см. теоремы 17 и 20е).
д)
()
x
x
x
x
x
x
xx
xx
sin
13
1
lim
13
sin1
lim
22
⋅
+
+
+
=
++
+
∞→∞→
. Имеем
0
13
1
1
1
lim
13
1
1
1
lim
13
1
lim
22
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
++
+
∞→∞→∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xxx
.
Так как
1sin ≤x при любых
x
, то по теореме 21 о произведении бесконечно
малой и ограниченной функций получим 0sin
13
1
lim
2
=⋅
+
+
+
∞→
x
x
x
x
x
.
е) Так как
()
16410lim
2
=
−
→
x
x
и
2
11
lim
2
=
→
x
x
, то по теореме 19г получим
() ()
()
416410lim410lim
2
1
1
lim
2
1
2
2
==−=−
→
→→
x
x
x
x
x
xx .
6. Замечательные пределы
Приведем два замечательных предела и их следствия, используя кото-
рые, можно раскрывать неопределенности.
Первый замечательный предел. Справедливо равенство:
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
(16)
Доказательство. Рассмотрим случай, когда
0→x и 0>x , то есть
00 +→x . Для
2
0
π
<< x справедливо неравенство
xtgxx <
<
sin
. Поделив его

Страницы