Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

95
В этом случае говорят о неопределенностях вида
0
0
,,
∞
∞
∞−∞ и
∞
⋅
0 .
Для нахождения предела выражения следует раскрыть соответствующую не-
определенность.
Теорема 22. (о предельном переходе в неравенстве). Пусть
(
)
(
)
xgxf
≤
для всех
x
из некоторой окрестности точки a , кроме , может быть, самой
точки
a , и пусть существуют конечные пределы этих функций в точке a , то-
гда справедливо неравенство
(
)
(
)
xgxf
axax →→
≤
limlim .
Теорема 23. (о сжатой переменной). Пусть даны три функции, опреде-
ленные в некоторой окрестности точки
a , кроме, может быть, самой точки a ,
и связанные соотношением
(
)
(
)
(
)
xgxzxf
≤
≤
.
Если существуют конечные пределы при
a
x
→ функций
()
xf и
(
)
xg и они
равны между собой, то функция
(
)
xz имеет конечный предел при a
x
→ и он
равен пределу функций
()
xf и
(
)
:xg
(
)
(
)()
xgxzxf
axax
ax
→→
→
=
=
limlimlim .
Теорема 24. (о пределе монотонной ограниченной функции). Если мо-
нотонная функция ограничена, то она имеет конечный предел.
Теорема 25 (о пределах простейших элементарных функций)
Предел простейшей элементарной функции в каждой точке области
определения равен ее значению в этой точке:
(
)()
afxf
ax
=
→
lim
Например,
;00lim;11lim;82lim
33
0
33
1
33
2
======
→→→
xxx
xxx
;29logloglim;13logloglim;01logloglim
33
9
33
3
33
1
=
=
=
=
==
→→→
xxx
xxx
;...0sinsinlim;
2
1
6
sinsinlim;00sinsinlim
6
0
======
→
→
→
π
π
π
π
xxx
x
x
x
Напомним, что к простейшим элементарным функциям относят функции :
.,,arccos,arcsin,,,,cos,sin,log,, xarcctgxarctgxxxctgxtgxxxax
xa
Замечание. Все теоремы о пределах функций при
a
x
→ справедливы и
при
.,,
→−∞→+∞→
x
x
x

Страницы